上海市杨浦区2018届高三下学期数学质量调研二模试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的图象如图所示，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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2. 设A、B是非空集合，定义： $A \times B = {x | x \in A \cup B$ 且 $x \notin A \cap B}$ .已知 $A = {x | y = \sqrt{2 x - x^{2}}}$ ， $B = {x | x ＞ 1}$ ，则 $A \times B$ 等于（）

A、 $[0 ， 1] \cup (2 ， + \infty)$ B、 $[0 ， 1) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[0 ， 2]$

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3. 已知 $a_{1}^{2} + b_{1}^{2} \neq 0$ ， $a_{2}^{2} + b_{2}^{2} \neq 0$ ，则“ $| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} | = 0$ ”是“直线 $l_{1} ： a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ 与 $l_{2} ： a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ 平行”的（）条件

A、充分非必要 B、必要非充分 C、充要 D、既非充分也非必要

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4. 已知长方体的表面积为 $\frac{45}{2}$ ，棱长的总和为24. 则长方体的体对角线与棱所成角的最大值为（）

A、 $arccos \frac{1}{3}$ B、 $arccos \frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $arccos \frac{\sqrt{3}}{9}$ D、 $arccos \frac{\sqrt{6}}{9}$

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二、填空题

5. 函数 $y = lg x - 1$ 的零点是

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6. 计算： $lim_{n \to \infty} \frac{2 n}{4 n + 1} =$

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7. 已知 ${(1 + 3 x)}^{n}$ 的展开式中含有 $x^{2}$ 项的系数是54，则n=.

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8. 掷一颗均匀的骰子，出现奇数点的概率为

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9. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y \geq 0 \\ x + y \leq 2 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + 2 y$ 的最大值是．

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10. 若复数 $z$ 满足 $| z | = 1$ ，则 $| z - i |$ 的最大值是

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11. 若一个圆锥的主视图（如图所示）是边长为3、3、2的三角形，则该圆锥的体积是

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12. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{16 y^{2}}{p^{2}} = 1$ （ $p > 0$ ）的左焦点在抛物线 $y^{2} = 2 p x$ 的准线上，则 $p =$ ．

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13. 若 $sin (x - y) cos x - cos (x - y) sin x = \frac{3}{5}$ ，则 $tan 2 y$ 的值为

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14. 若 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{n} > 0$ ，且 $a_{2018} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\frac{1}{a_{2017}} + \frac{2}{a_{2019}}$ 的最小值为

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15. 在 $△ A B C$ 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ， $a = 2$ ， $2 sin A = sin C$ .
若 $B$ 为钝角， $cos 2 C = - \frac{1}{4}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为

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16. 已知非零向量 $\overset{⇀}{O P}$ 、 $\overset{⇀}{O Q}$ 不共线，设 $\overset{⇀}{O M} = \frac{1}{m + 1} \overset{⇀}{O P} + \frac{m}{m + 1} \overset{⇀}{O Q}$ ，定义点集
$A = {F | \frac{\overset{⇀}{F P} \cdot \overset{⇀}{F M}}{| \overset{⇀}{F P} |} = \frac{\overset{⇀}{F Q} \cdot \overset{⇀}{F M}}{| \overset{⇀}{F Q} |}}$ . 若对于任意的 $m \geq 3$ ，当 $F_{1}$ ， $F_{2} \in A$ 且不在直线 $P Q$ 上时，不等式 $| \overset{⇀}{F_{1} F_{2}} |_{} \leq k | \overset{⇀}{P Q} |$ 恒成立，则实数 $k$ 的最小值为

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三、解答题

17. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，
据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x $(x \in N^{*})$ 满足函数关系
式 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 60 x - 800$ .

(1)、要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；

(2)、每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润 $\frac{y}{x}$ 的值最大？

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18. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E是棱AB上的动点.

(1)、求证： $D A_{1} ⊥ E D_{1}$ ；

(2)、若直线 $D A_{1}$ 与平面 $C E D_{1}$ 所成的角是45 $^{\circ}$ ，请你确定点E的位置，并证明你的结论.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = λ n a_{n} + μ a_{n - 1}$ ，其中 $n \geq 2$ ， $n \in N^{*}$ ， $λ$ ， $μ \in R$ .

(1)、若 $λ = 0$ ， $μ = 4$ ， $b_{n} = a_{n + 1} - 2 a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和；

(2)、若 $a_{2} = 3$ ，且 $λ + μ = \frac{3}{2}$ ，求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列.

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20. 已知椭圆 $Ω ： 9 x^{2} + y^{2} = m^{2}$ $(m > 0)$ ，直线 $l$ 不过原点O且不平行于坐标轴， $l$ 与 $Ω$ 有两个交点A、B ，线段AB的中点为M.

(1)、若 $m = 3$ ，点K在椭圆 $Ω$ 上， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆的两个焦点，求 $\overset{⇀}{K F_{1}} \cdot \overset{⇀}{K F_{2}}$ 的范围；

(2)、证明：直线 $O M$ 的斜率与 $l$ 的斜率的乘积为定值；

(3)、若 $l$ 过点 $(\frac{m}{3} ， m)$ ，射线OM与 $Ω$ 交于点P ，四边形 $O A P B$ 能否为平行四边形？
若能，求此时 $l$ 的斜率；若不能，说明理由．

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21. 记函数 $f (x)$ 的定义域为D. 如果存在实数 $a$ 、 $b$ 使得 $f (a - x) + f (a + x) = b$ 对任意满足 $a - x \in D$ 且 $a + x \in D$ 的x恒成立，则称 $f (x)$ 为 $Ψ$ 函数.

(1)、设函数 $f (x) = \frac{1}{x} - 1$ ，试判断 $f (x)$ 是否为 $Ψ$ 函数，并说明理由；

(2)、设函数 $g (x) = \frac{1}{2^{x} + t}$ ，其中常数 $t \neq 0$ ，证明： $g (x)$ 是 $Ψ$ 函数；

(3)、若 $h (x)$ 是定义在 $R$ 上的 $Ψ$ 函数，且函数 $h (x)$ 的图象关于直线 $x = m$ （m为常数）对称，试判断 $h (x)$ 是否为周期函数？并证明你的结论.

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