北京市丰台区2018年高三文数一模试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $\frac{2}{1 + i} =$ （）

A、 $- 1 + i$ B、 $- 1 - i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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2. 已知命题p： $\exists$ x <1， $x^{2} \leq 1$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall$ x ≥1， $x^{2} > 1$ B、 $\exists$ x <1， $x^{2} > 1$ C、 $\forall$ x <1， $x^{2} > 1$ D、 $\exists$ x ≥1， $x^{2} > 1$

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3. 已知 $a < b < 0$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $\sqrt{- a} < \sqrt{- b}$ C、 $2^{a} > 2^{b}$ D、 $a^{3} > b^{3}$

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4. 已知抛物线 $C$ 的开口向下，其焦点是双曲线 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ 的一个焦点，则 $C$ 的标准方程为（）

A、 $y^{2} = 8 x$ B、 $x^{2} = - 8 y$ C、 $y^{2} = \sqrt{2} x$ D、 $x^{2} = - \sqrt{2} y$

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5. 设不等式组 ${\begin{matrix} 0 \leq x \leq 5 ， \\ 0 \leq y \leq 5 \end{matrix}$ 确定的平面区域为 $D$ ，在 $D$ 中任取一点 $P (x ， y)$ 满足 $x + y \geq 2$ 的概率是（）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{5}{6}$ C、 $\frac{21}{25}$ D、 $\frac{23}{25}$

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6. 执行如图所示的程序框图，那么输出的 $a$ 值是（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $4$ C、 $\frac{8}{3}$ D、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$

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8. 设函数 $f (x) = sin (4 x + \frac{π}{4})$ $(x \in [0 ， \frac{9 π}{16}])$ ，若函数 $y = f (x) + a (a \in R)$ 恰有三个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ $(x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} + x_{3}$ 的值是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $π$

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二、填空题

9. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 0}$ ， $B = {x | 0 < x \leq 3}$ ，则 $A \cup B =$ ．

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10. 圆心为 $(1 ， 0)$ ，且与直线 $y = x + 1$ 相切的圆的方程是．

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11. 在△ $A B C$ 中， $a = 2$ ， $c = 4$ ，且 $3 sin A = 2 sin B$ ，则 $cos C =$ ．

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12. 已知点 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 1)$ ，若点 $P (x ， y)$ 在线段 $A B$ 上，则 $x y$ 的最大值为．

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13. 已知定义域为 $R$ 的奇函数 $f (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = - {(x - 1)}^{2} + 1$ ．
①当 $x \in [- 1 ， 0]$ 时， $f (x)$ 的取值范围是；
②当函数 $f (x)$ 的图象在直线 $y = x$ 的下方时， $x$ 的取值范围是．

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14. 已知 $C$ 是平面 $A B D$ 上一点， $A B ⊥ A D$ ， $C B = C D = 1$ ．
①若 $\overset{⇀}{A B} = 3 \overset{⇀}{A C}$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{C D} =$ ；
②若 $\overset{⇀}{A P} = \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D}$ ，则 $| \overset{⇀}{A P} |$ 的最大值为．

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三、解答题

15. 已知函数 $f (x) = 2 cos x (sin x + cos x) - 1$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的单调递增区间．

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16. 在数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ ， $b_{1} = 3$ ， $b_{2} = 7$ ，等比数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = b_{n} - a_{n}$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 和 ${c_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若 $b_{6} = a_{m}$ ，求 $m$ 的值．

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17. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B$ ⊥平面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $A D = 2 B C$ ， $∠ D A B = ∠ A B P = 90 °$ ．
（Ⅰ）求证： $A D$ ⊥平面 $P A B$ ；
（Ⅱ）求证： $A B$ ⊥ $P C$ ；
（Ⅲ）若点 $E$ 在棱 $P D$ 上，且 $C E ∥$ 平面 $P A B$ ，求 $\frac{P E}{P D}$ 的值．

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18. 某地区工会利用 “健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为 $[3 ， 5)$ ， $[5 ， 7)$ ， $[7 ， 9)$ ， $[9 ， 11)$ ， $[11 ， 13)$ ， $[13 ， 15)$ ， $[15 ， 17)$ ， $[17 ， 19)$ ， $[19 ， 21]$ 九组，整理得到如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；
（Ⅱ）从当天步数在 $[11 ， 13)$ ， $[13 ， 15)$ ， $[15 ， 17)$ 的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率；
（Ⅲ）写出该组数据的中位数（只写结果）．

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (\sqrt{3} ， 0)$ ，点 $A (- 2 ， 0)$ 在椭圆 $C$ 上．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程与离心率；
（Ⅱ）设椭圆 $C$ 上不与 $A$ 点重合的两点 $D$ ， $E$ 关于原点 $O$ 对称，直线 $A D$ ， $A E$ 分别交 $y$ 轴于 $M$ ， $N$ 两点．求证：以 $M N$ 为直径的圆被 $x$ 轴截得的弦长是定值．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x}} + a ln x (a \in R)$ ．
（Ⅰ）当 $a = \frac{1}{e}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 在定义域内不单调，求 $a$ 的取值范围．

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