北京市丰台十二中2016-2017学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，直线y=x+1经过（　　）

A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限 C、第一、三、四象限 D、第二、三、四象限

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2. 方程 ${(x - 1)}^{2} = x - 1$ 的根为（）．

A、 $x = 2$ B、 $x = 3$ C、 $x = 0$ 或 $x = 1$ D、 $x = 1$ 或 $x = 2$

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3. 已知一次函数 $y = (m + 2) x + (1 - m)$ ，若 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则 $m$ 的取值范围是（）．

A、 $m > - 2$ B、 $m < 1$ C、 $- 2 < m < - 1$ D、 $m < - 2$

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4. 用配方法解方程： $x^{2} - \frac{2}{3} x + 1 = 0$ ，正确的是（）．

A、 ${(x - \frac{2}{3})}^{2} = \frac{5}{9}$ ，∴ $x = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{3}$ B、 ${(x - \frac{1}{3})}^{2} = 1$ ，∴ $x_{1} = \frac{5}{2}$ ， $x_{2} = - \frac{1}{3}$ C、 ${(x - \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{8}{9}$ ，∴原方程无实数根 D、 ${(x - \frac{1}{3})}^{2} = - \frac{8}{9}$ ，∴原方程无实数根

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5. 如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $D B = D C$ ， $∠ C = 70 °$ ， $A E ⊥ B D$ 于 $E$ ，则 $∠ B A E$ 等于（）．

A、 $50 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $20 °$

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6. 下列图形中，表示一次函数 $y = m x + n$ 与正比例函数 $y = m n x$ （ $m$ 、 $n$ 是常数且 $m n \neq 0$ ）图象是（）．

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，已知 $O$ 是平行四边形 $A B C D$ 的对角线交点， $A C = 24 mm$ ， $B D = 38 mm$ ， $A D = 14 mm$ ，那么 $△ O B C$ 的周长等于（）．

A、 $55 mm$ B、 $35 mm$ C、 $45 mm$ D、 $76 mm$

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8. 如图， $∠ 1$ ， $∠ 2$ ， $∠ 3$ ， $∠ 4$ 是五边形 $A B C D E$ 的外角，且 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = ∠ 4 = 70 °$ ，则 $∠ A E D$ 的度数是（）．

A、 $110 °$ B、 $108 °$ C、 $105 °$ D、 $100 °$

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9. 如图，长方形纸片 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ，折叠纸片使 $A D$ 边与对角线 $B D$ 重合，折痕为 $D G$ ，则 $A G$ 的长为（）．

A、 $1$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $2$

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A D = B C = 8$ ， $A B = 10$ ， $C D = 6$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积是（）．

A、 $16 \sqrt{15}$ B、 $16 \sqrt{5}$ C、 $32 \sqrt{15}$ D、 $16 \sqrt{17}$

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二、填空题

11. 函数y= $\sqrt{x + 1}$ 中，自变量x的取值范围是．

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12. 在平面直角坐标系中，点 $A (x - 1 ， 2 - x)$ 在第四象限，则实数 $x$ 的取值范围是．

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13. 关于 $x$ 的方程 $k x^{2} - x - 1 = 0$ 有两个实数根，则 $k$ 的取值范围是．

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14. 某公司一月份营业额为 $1$ 万元，三月份营业额达到 $1.96$ 万元，若设该公司二、三月份营业额的平均增长率为 $x$ ，则可列出方程为．

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15. 如果一次函数 $y = k x + 4$ 与两坐标轴围成的三角形面积为 $4$ ，则 $k =$ ．

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16. 程大位所著《算法统宗》是一部中国传统数学重要的著作．在《算法统宗》中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”【注释】1步=5尺．
译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”
如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为．

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17. 在面积为 $15$ 的平行四边形 $A B C D$ 中，过点 $A$ 作 $A E ⊥$ 直线 $B C$ 于点 $E$ ，作 $A F ⊥$ 直线 $C D$ 于点 $F$ ．若 $A B = 5$ ， $B C = 6$ ，则 $C E + C F$ 的值为．

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三、解答题

18. 用适当方法解关于 $x$ 的一元二次方程：

(1)、 ${(x + 1)}^{2} = 4$

(2)、 $3 x^{2} + 2 \sqrt{2} x - 1 = 0$

(3)、 $n x^{2} - (m - 2 n) x - m + n = 0 (n \neq 0)$ ．

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19. 某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如图所示．社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？

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20. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = ∠ A B C = 90 °$ ， $A D = 1$ ， $B C = 3$ ， $E$ 是边 $C D$ 的中点，连接 $B E$ 延长与 $A D$ 的延长线相交于点 $F$ ，连接 $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $B D F C$ 是平行四边形．

(2)、已知 $C B = C D$ ，求四边形 $B D F C$ 的面积．

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21. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $A (- 6 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ ； $y = 2 x$ 相交于点 $B (m ， 4)$ ．

(1)、求直线 $l_{1}$ 的表达式．

(2)、过动点 $P (n ， 0)$ 且垂于 $x$ 轴的直线与 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 的交点分别为 $C$ ， $D$ ，当点 $C$ 位于点 $D$ 上方时，写出 $n$ 的取值范围．

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22. 如图，直线 $y = k x + 6$ 与 $x$ 轴 $y$ 轴分别交于点 $E$ 、 $F$ ，点 $E$ 的坐标为 $(- 8 ， 0)$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 6 ， 0)$ ．

(1)、求 $k$ 的值．

(2)、若点 $P (x ， y)$ 是第二象限内的直线 $y = k x + 6$ 上的一个动点，在点 $P$ 的运动过程中，试写出 $△ O P A$ 的面积 $S$ 与 $x$ 的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

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23. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 - k = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围．-3x+2=0

(2)、若 $k$ 为负整数，求此时方程的根．

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24. 实验与探究：

(1)、由图观察易知 $A (0 ， 2)$ 关于直线 $1 ： y = x$ 的对称点 $A^{'}$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，请在图中分别标明 $B (5 ， 3)$ 、 $C (- 2 ， 5)$ 关于直线 $l$ 的对称点 $B^{'}$ 、 $C^{'}$ 的位置，并写出他们的坐标： $B^{'}$ 、 $C^{'}$ ．
归纳与发现：

(2)、结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 $P (a ， b)$ 关于第一、三象限的角平分线 $l$ 的对称点 $P^{'}$ 的坐标为（不必证明）．
运用与拓广：

(3)、已知两点 $D (1 ， - 3)$ 、 $E (- 1 ， - 4)$ ，试在直线 $l$ 上确定一点 $Q$ ，使点 $Q$ 到 $D$ 、 $E$ 两点的距离之和最小，并求出 $Q$ 点坐标．

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25. 已知长方形 $A B C O$ ， $O$ 为坐标原点， $B$ 点坐标为 $(8 ， 6)$ ， $A$ 点在 $y$ 轴的正半轴上， $C$ 点在 $x$ 轴的正半轴上， $P$ 是线段 $B C$ 上的动点，设 $P C = m$ ，已知点 $D$ 在第一象限且是直线 $y = 2 x + 6$ 上一点，若 $△ A P D$ 是等腰直角三角形．

(1)、求点 $D$ 的坐标并写出解题过程．

(2)、直角 $y = 2 x + 6$ 向下平移 $12$ 个单位后，在该直线上是否存在点 $D$ ，使 $△ A P D$ 是等腰直角三角形．

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26. 已知，点 $O$ 是等边 $△ A B C$ 内的任一点，连接 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ．
如图 $1$ ，已知 $∠ A O B = 150 °$ ， $∠ B O C = 120 °$ ，将 $△ B O C$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转 $60 °$ ，使 $O$ 与 $D$ 重合，得 $△ A D C$ ．

(1)、 $∠ D A O$ 的度数是．

(2)、用等式表示线段 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 之间的数量关系，并证明．（图 $2$ 为备用图）

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