2018年高考数学提分专练：第18题 概率（解答题）

经计算得 $\overline{x}$ = $\frac{1}{16}{\displaystyle \sum }_{i=1}^{16}$ x_i=9.97，s= $\sqrt{\frac{1}{16}{\displaystyle \sum }_{i=1}^{16}{(x_i-\overline{x})}^2}$ = $\sqrt{\frac{1}{16}\left({\displaystyle \sum }_{i=1}^{16}{x}_i{}^2-16{\overline{x}}^2\right)}$ =0.212， $\sqrt{{\displaystyle \sum }_{i=1}^{16}\left(i-8．5^2\right)}$ ≈18.439， ${\displaystyle \sum }_{i=1}^{16}$ （x_i﹣ $\overline{x}$ ）（i﹣8.5）=﹣2.78，其中x_i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．

（Ⅰ）记A表示时间“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；

（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较．

附：

K²= $\frac{n{(ad-bc)}^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}$ ．

海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如图：

（Ⅰ）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

（Ⅲ）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）．

附：

K²= $\frac{n{(ad-bc)}^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}$ ．

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

$($ Ⅰ $)$ 从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深度采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；

$($ Ⅱ $)$ 根据以上 $2\times 2$ 列联表，是否有 $95\%$ 以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？

下面的临界值表供参考：

$($ 参考公式： $K^2=\frac{n{(ad-bc)}^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}$ ，其中 $n=a+b+c+d)$

参考数据：

（参考公式： $K^2=\frac{n{\left(ad-bc\right)}^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}$ ，其中 $n=a+b+c+d$ ）

（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？

（Ⅱ）根据这 $200$ 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示）．其中样本数据分组区间为： $\left[0，2\right]$ ， $\left(2，4\right]$ ， $\left(4，6\right]$ ， $\left(6，8\right]$ ， $\left(8，10\right]$ ， $\left(10，12\right]$ ．估计该年组学生每周平均体育运动时间超过 $6$ 个小时的概率．

（Ⅲ）在样本数据中，有 $20$ 位女生的每周平均体育运动时间超过 $6$ 个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 $95\%$ 的把握认为“该年级学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

附： $K^2=\frac{n{\left(ad-bc\right)}^2}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(a+c\right)\left(b+d\right)}$

（Ⅰ）求该批零件样本尺寸的平均数 $x$ 和样本方差 $s^2$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）若该批零件尺寸 $Z$ 服从正态分布 $N\left(\mu ，{\sigma }^2\right)$ ，其中 $\mu$ 近似为样本平均数 $x$ ， ${\sigma }^2$ 近似为样本方差 $s^2$ ，利用该正态分布求 $P\left(54<Z<85.5\right)$ ；

（Ⅲ）若从生产线中任取一零件，测量尺寸为 $30\text{mm}$ ，根据 $3\sigma$ 原则判断该生产线是否正常？

附： $\sqrt{110}\approx 10.5$ ；若 $Z\sim N\left(\mu ，{\sigma }^2\right)$ ，则 $P\left(\mu -\sigma <Z<\mu +\sigma \right)=0.6826$ ， $P\left(\mu -2\sigma <Z<\mu +2\sigma \right)=0.9544$ ， $P\left(\mu -3\sigma <Z<\mu +3\sigma \right)=0.9974$ .

整理评分数据，将分数以 10 为组距分成6 组： $\left[0，10\right)，\left[10，20\right)，\left[20，30\right)，\left[30，40\right)，\left[40，50\right)，\left[50，60\right]$ ，得到 $A$ 服务机构分数的频数分布表， $B$ 服务机构分数的频率分布直方图：

定义市民对服务机构评价的“满意度指数”如下：

经计算得： $\overline{x}=\frac{1}{6}{\displaystyle \sum }_{i=1}^6{x}_i=26$ ， $\overline{y}=\frac{1}{6}{\displaystyle \sum }_{i=1}^6{y}_i=33$ ， ${\displaystyle \sum }_{i=1}^6\left(x_i-\overline{x}\right)(y_i-\overline{y})=557$ ， ${\displaystyle \sum }_{i=1}^6{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2=84$ ，

${\displaystyle \sum }_{i=1}^6{(y_i-\overline{y})}^2=3930$ ，线性回归模型的残差平方和 ${\displaystyle \sum }_{i=1}^6{(y_i-{\widehat{y}}_i)}^2=236.64$ ，e^8.0605≈3167，其中x_i ， y_i分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1， 2， 3， 4， 5， 6.

(Ⅰ)若用线性回归模型，求y关于x的回归方程 $\widehat{y}$ = $\widehat{b}$ x+ $\widehat{a}$ （精确到0.1）；

(Ⅱ)若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为 $\widehat{y}$ =0.06e^0.2303x ， 且相关指数R²=0.9522.

( i )试与(Ⅰ)中的回归模型相比，用R²说明哪种模型的拟合效果更好.

(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）.

附：一组数据(x₁ ， y₁)， (x₂ ， y₂)， ...，(x_n ， y_n)， 其回归直线 $\widehat{y}$ = $\widehat{b}$ x+ $\widehat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计为

$\widehat{b}=\frac{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)(y_i-\overline{y})}{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}，$   $\widehat{a}$ = $\overline{y}$ − $\widehat{b}\overline{x}$ ；相关指数R²= $1-\frac{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n{(y_i-{\widehat{y}}_i)}^2}{{{\displaystyle \sum }}_{i=1}^n{(y_i-\overline{y})}^2}$ ．

以上表各种贷款期限频率作为2017年贫困家庭选择各种贷款期限的概率．

（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P（x≥120）

（Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；

（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x∈[100，110），则取x=105，且x=105的概率等于市场需求量落入100，110）的频率），求T的分布列及数学期望E（T）．