安徽省马鞍山市2018届高三理数第二次教学质量监测试卷

试卷更新日期：2018-05-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{2 i}{1 + i} + i^{5}$ 的共轭复数为（）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $i - 1$ D、 $1 - i$

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2. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = 3^{2 n - 1} + r$ ，则 $r$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $- \frac{1}{9}$

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3. 若实数 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y - 1 \leq 0 \\ 3 x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \end{matrix}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $- 4$ D、不存在

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} - 4 ， x \geq 0 \\ e^{- x} - 4 ， x < 0 ， \end{matrix}$ $g (x) = x^{2}$ ，则函数 $y = f (x) \cdot g (x)$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 若 $\int \begin{matrix} a \\ \frac{π}{4} \end{matrix} (sin x + cos x) d x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $a$ 的值不可能为（）

A、 $\frac{13 π}{12}$ B、 $\frac{7 π}{4}$ C、 $\frac{29 π}{12}$ D、 $\frac{37 π}{12}$

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7. 如图所示的一个算法的程序框图，则输出 $d$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $1 + 2 \sqrt{2}$

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8. 如图，点 $E$ 在正方体的棱 $C C_{1}$ 上，且 $C E = \frac{1}{3} C C_{1}$ ，削去正方体过 $B ， E ， D_{1}$ 三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 二项式 ${(\sqrt{3} x + \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中 $x$ 的指数为整数的顶的个数为（）

A、3 B、5 C、6 D、7

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10. 设 $ω > 0$ ，函数 $y = 2 cos (ω x + \frac{π}{5})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{5}$ 个单位长度后与函数 $y = 2 sin (ω x + \frac{π}{5})$ 图象重合，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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11. 已知 $M ， N$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上关于长轴对称的两点， $A ， B$ 分别为椭圆的左、右顶点，设 $k_{1} ， k_{2}$ 分别为直线 $M A ， N B$ 的斜率，则 $| k_{1} + 4 k_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 b}{a}$ B、 $\frac{3 b}{a}$ C、 $\frac{4 b}{a}$ D、 $\frac{5 b}{a}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足对 $1 \leq n \leq 3$ 时， $a_{n} = n$ ，且对 $\forall n \in N^{*}$ ，有 $a_{n + 3} + a_{n + 1} = a_{n + 2} + a_{n}$ ，则数列 ${n \cdot a_{n}}$ 的前50项的和为（）

A、2448 B、2525 C、2533 D、2652

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 满足， $\overset{⇀}{a} = (1 ， \sqrt{3}) ， | \overset{⇀}{b} | = 1 ， | \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⇀}{a} ， \overset{⇀}{b}$ 的夹角为．

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14. 点 $F 、 A 、 B$ 分别为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦点、实轴端点、虚轴端点，且 $Δ F A B$ 为直角三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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15. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = 1 ， B C = \sqrt{2} ， C D = A C = \sqrt{3}$ ，当三梭锥 $A - B C D$ 的体积最大时，其外接球的表面积为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 x^{2} - 2 ， x \geq 0 \\ - \frac{4}{3} x ， x < 0 \end{matrix}$ ，函数 $g (x) = f (x) + \sqrt{1 - x^{2}} + | f (x) - \sqrt{1 - x^{2}} | - 2 a x + 4 a$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 如图， $Δ A B C$ 中 $A$ 为钝角，过点 $A$ 作 $A D ⊥ A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ，已知 $A B = 2 \sqrt{3} ， A D = 2$ .

(1)、若 $B = 30 °$ ，求 $∠ B A D$ 的大小；

(2)、若 $B C = 3 B D$ ，求 $B D$ 的长.

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18. 某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 $y (g)$ 与尺寸 $x (m m)$ 之间近似满足关系式 $y = a x^{b}$ ( $a ， b$ 为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表：

(1)、根据所给数据，求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(2)、按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间 $(\frac{e}{9} ， \frac{e}{7})$ 内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记 $x$ 为取到优等品的件数，试求随机变量 $x$ 的分布列和期望.
附：对于一组数据 $(v_{1} ， u_{1}) ， (v_{2} ， u_{2}) ， \dots ， (v_{n} ， u_{n})$ ，其回归直线 $u = (a + b) v$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} v_{i} u_{i} - n \bar{v} \cdot \bar{u}}{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2} - n {\bar{v}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{u} - \hat{β} \bar{v}$ .

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19. 如图，在五棱锥 $M - A B C D E$ 中，四边形 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D / / B C ， A D = 2 B C = 4 ， A B = \sqrt{5}$ ， $Δ M E A$ 和 $Δ M E D$ 都是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正三角形.

(1)、求证： $M E ⊥$ 面 $M B C$ ；

(2)、求二面角 $B - M C - D$ 的大小.

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20. 直线 $y = k x + 4$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 交于 $A 、 B$ 两点，且 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = 0$ ，其中 $O$ 为原点.

(1)、求此抛物线的方程；

(2)、当 $k = 0$ 时，过 $A ， B$ 分别作 $C$ 的切线相交于点 $D$ ，点 $E$ 是抛物线 $C$ 上在 $A ， B$ 之间的任意一点，抛物线 $C$ 在点 $E$ 处的切线分别交直线 $A D$ 和 $B D$ 于点 $P ， Q$ ，求 $Δ A B E$ 与 $Δ P Q D$ 的面积比.

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21. 已知函数 $g (x) = x ln x ， h (x) = \frac{a x^{2} - 1}{2} (a > 0)$ .

(1)、若 $g (x) < h (x)$ 对 $x \in (1 ， + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：不等式 $(1 + \frac{1}{n^{2}}) (1 + \frac{2}{n^{2}}) \dots (1 + \frac{n}{n^{2}}) < e^{\frac{3}{4}}$ 对于正整数 $n$ 恒成立，其中 $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为： ${\begin{matrix} x = - \sqrt{6} - \sqrt{2} t \\ y = 2 \sqrt{6} + \sqrt{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系 $x O y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴)中，圆 $C$ 的方程为 $ρ = 4 \sqrt{6} cos θ$ .

(1)、求圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设圆 $C$ 与直线 $l$ 交于点 $A ， B$ ，求 $| A B |$ 的大小.

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23. 已知 $f (x) = | x + 1 | + | x + m |$ ， $g (x) = x^{2} + 3 x + 2$ .

(1)、若 $m > 0$ 且 $f (x)$ 的最小值为1，求 $m$ 的值；

(2)、不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集为 $A$ ，不等式 $g (x) \leq 0$ 的解集为 $B$ ， $B \subseteq A$ ，求 $m$ 的取值范围.

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