2016-2017学年江苏省苏州市高三上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2016-12-16 类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|﹣1＜x≤1}，则A∩B= ．

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2. 若命题p：∃x∈R，使x²+ax+1＜0，则￢p：．

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3. 函数y= $\sqrt{\frac{1 - x}{x + 2}}$ 的定义域为．

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4. 曲线y=x﹣cosx在点（ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{2}$ ）处的切线的斜率为．

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5. 已知tanα=﹣ $\frac{4}{3}$ ，则tan（α﹣ $\frac{π}{4}$ ）= ．

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6. 已知等比数列{a_n}的各项均为正数，且满足：a₁a₉=4，则数列{log₂a_n}的前9项之和．

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7. 已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=8^x ，则f（﹣ $\frac{19}{3}$ ）=

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8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a²﹣b²=2bc，sinC=3sinB，则A=

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9. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} 2 x - 1 ， x ＞ 0 \\ x^{2} + x ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，若函数g（x）=f（x）﹣m有三个零点，则实数m的取值范围是．

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10. 若函数y=tanθ+ $\frac{\cos 2 θ + 1}{\sin 2 θ}$ （0＜θ＜ $\frac{π}{2}$ ），则函数y的最小值为．

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11. 已知函数f（x）=sin（ωx+ $\frac{π}{3}$ ）（ω＞0），将函数y=f（x）的图象向右平移 $\frac{2}{3} π$ 个单位长度后，所得图象与原函数图象重合ω最小值等于．

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12. 数列{a_n}满足a_n₊₁=a_n（1﹣a_n₊₁），a₁=1，数列{b_n}满足：b_n=a_na_n₊₁ ，则数列{b_n}的前10项和S₁₀= ．

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13. 设△ABC的三个内角A，B，C所对应的边为a，b，c，若A，B，C依次成等差数列且a²+c²=kb² ，则实数k的取值范围是．

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14. 已知函数f（x）= $\frac{x - a}{{(x + a)}^{2}}$ ，若对于定义域内的任意x₁ ，总存在x₂使得f（x₂）＜f（x₁），则满足条件的实数a的取值范围是．

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二、解答题（一）

15. 已知函数f（x）=3^x+λ•3^﹣^x（λ∈R）．

(1)、若f（x）为奇函数，求λ的值和此时不等式f（x）＞1的解集；

(2)、若不等式f（x）≤6对x∈[0，2]恒成立，求实数λ的取值范围．

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16. 已知递增等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂和a₄的等差中项，

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \log_{\frac{1}{2}} a_{n}$ ，S_n=b₁+b₂+…+b_n ，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞62成立的正整数n的最小值．

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17. 已知函数f（x）=2sin（x+ $\frac{π}{3}$ ）•cosx．

(1)、若0≤x≤ $\frac{π}{2}$ ，求函数f（x）的值域；

(2)、设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．

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18. 如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC=2百米，CD=1百米，∠BCD=120°，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为1：3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC=x百米，EF=y百米．

(1)、当点F与点D重合时，试确定点E的位置；

(2)、试求x的值，使路EF的长度y最短．

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19. 已知数列{a_n}的前n项和为A_n ，对任意n∈N^*满足 $\frac{A_{n + 1}}{n + 1}$ ﹣ $\frac{A_{n}}{n}$ = $\frac{1}{4}$ ，且a₁=1，数列{b_n}满足b_n₊₂﹣2b_n₊₁+b_n=0（n∈N*），b₃=5，其前9项和为63．

(1)、求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、令c_n= $\frac{b_{n}}{a_{n}}$ + $\frac{a_{n}}{b_{n}}$ ，数列{c_n}的前n项和为T_n ，若对任意正整数n，都有T_n≥2n+a，求实数a的取值范围；

(3)、将数列{a_n}，{b_n}的项按照“当n为奇数时，a_n放在前面；当n为偶数时，b_n放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：a₁ ， b₁ ， b₂ ， a₂ ， a₃ ， b₃ ， b₄ ， a₄ ， a₅ ， b₅ ， b₆ ， …，求这个新数列的前n项和S_n ．

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20. 已知f（x）=ax³﹣3x²+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g（x）}= ${\begin{matrix} f (x) ， f (x) \geq g (x) \\ g (x) ， f (x) ＜ g (x) \end{matrix}$ ．

(1)、求函数f（x）的极值；

(2)、若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；

(3)、若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．

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三、解答题（二）

21. 如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB²=BE•BD﹣AE•AC．

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22. 已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 $\vec{e_{1}}$ = $[\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$ ，并且矩阵M将点（﹣1，3）变换为（0，8）．

(1)、求矩阵M；

(2)、求曲线x+3y﹣2=0在M的作用下的新曲线方程．

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23. 已知平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = r \cos θ + 2 \\ y = r \sin θ + 2 \end{matrix}$ （θ为参数，r＞0）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $\sqrt{2}$ ρsin（θ+ $\frac{π}{4}$ ）+1=0．

(1)、求圆C的圆心的极坐标；

(2)、当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围．

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24. 已知a，b，c，d都是正实数，且a+b+c+d=1，求证： $\frac{a^{2}}{1 + a} + \frac{b^{2}}{1 + b} + \frac{c^{2}}{1 + c} + \frac{d^{2}}{1 + d} \geq \frac{1}{5}$ ．

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25. 某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A，B，C三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为 $\frac{1}{2}$ ，通过项目B，C的概率均为a（0＜a＜1），且这三个测试项目能否通过相互独立．

(1)、用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望E（X）（用a表示）；

(2)、若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．

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26. 在如图所示的四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，SA=AB=BC=a，AD=3a（a＞0），E为线段BS上的一个动点．

(1)、证明：DE和SC不可能垂直；

(2)、当点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角S﹣CD﹣E的余弦值．

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