2016-2017学年广东省清远市清城三中高三上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-16 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设函数f（x）=1﹣ $\sqrt{x + 1}$ ，g（x）=ln（ax²﹣3x+1），若对任意的x₁∈[0，+∞），都存在x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的最大值为（）

A、2 B、 $\frac{9}{4}$ C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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2. 若存在两个正实数x，y，使得等式3x+a（2y﹣4ex）（lny﹣lnx）=0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，0） B、 $(0 ， \frac{3}{2 e}]$ C、 $[\frac{3}{2 e} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup [\frac{3}{2 e} ， + \infty)$

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3. 下列说法正确的是（）

A、命题“若x²=1，则x=1”的否命题为：“x²=1，则x≠1” B、若命题p：∃x∈R，x²﹣x+1＜0，则命题￢p：∀x∈R，x²﹣x+1＞0 C、命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 D、“x²﹣5x﹣6=0”必要不充分条件是“x=﹣1”

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4. 已知指数函数y=f（x）的图象过点（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ），则log₂f（2）的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、﹣2 D、2

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5. 已知：sin（ $\frac{π}{2}$ +θ）+3cos（π﹣θ）=sin（﹣θ），则sinθcosθ+cos²θ=（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 不等式|x﹣5|+|x+1|＜8的解集为（）

A、（﹣∞，2） B、（﹣2，6） C、（6，+∞） D、（﹣1，5）

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7. 函数y= $\frac{x \ln | x |}{| x |}$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 下列四个命题，其中正确命题的个数（）
①若a＞|b|，则a²＞b²
②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
③若a＞b，c＞d，则ac＞bd
④若a＞b＞o，则 $\frac{c}{a}$ ＞ $\frac{c}{b}$ ．

A、3个 B、2个 C、1个 D、0个

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9. 已知定义在R上的函数f（x）=2^|x^﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（2^﹣3），b=f（3^m），c=f（log_0.53），则（　　）

A、a＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜a＜b D、c＜b＜a

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10. 4sin80°﹣ $\frac{\cos 10^{0}}{\sin 10^{0}}$ 等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、﹣ $\sqrt{3}$ C、2 D、2 $\sqrt{2}$ ﹣3

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11. 已知集合A={x|x²﹣4x﹣5＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）

A、（1，3） B、（1，4） C、（2，3） D、（2，4）

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12. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（0，1）， $\vec{c}$ =（﹣2，k），若（ $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ ）∥ $\vec{c}$ ，则k=（）

A、﹣8 B、﹣ $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、8

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二、填空题

13. 计算： ${(\frac{1}{27})}^{- \frac{1}{3}}$ +（log₃16）•（log₂ $\frac{1}{9}$ ）=

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14. 已知函数f（1﹣ $\frac{1}{x}$ ）的定义域为[1，+∞），则函数y= $\frac{f (x)}{\sqrt{{[\log_{2} (1 - x)]}^{2} - 1}}$ 的定义域为．

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15. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=4﹣f（x），若函数y= $\frac{2 x + 1}{x}$ 与 y=f（x）图象的交点为（x₁ ， y₁），（x₂ ， y₂），…，（x_m ， y_m），则 $\sum_{i = 1}^{n}$ （x_i+y_i）= ．

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16. 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x²﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围．

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三、解答题

17. 已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n﹣1，其中n∈N^* ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设a_nb_n= $\frac{3^{n}}{n^{2} + n}$ ，求数列{b_n}的前n项和为T_n ．

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18. 为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如表：
年龄
[5，15）
[15，25）
[25，35）
[35，45）
[45，55）
[55，65）
频数
5
10
15
10
5
5
支持“生育二胎”
4
5
12
8
2
1

(1)、由以上统计数据填下面2乘2列联表，并问是否有的99%把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：

(2)、若对年龄在[5，15），[35，45）的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望；
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计
支持
a=
c=
不支持
b=
d=
合计
参考数据：
P（K²≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．

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19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．

(1)、求证：CE∥平面PAD；

(2)、求PD与平面PCE所成角的正弦值；

(3)、在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求 $\frac{A F}{A B}$ 的值；如果不存在，说明理由．

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20. 已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，椭圆C上的点到右焦点的最大距离为3．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，并且满足|2 $\vec{O A}$ + $\vec{O B}$ |=|2 $\vec{O A}$ ﹣ $\vec{O B}$ |，求直线在y轴上截距的取值范围．

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21. 设函数f（x）=（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a和b是实数，曲线y=f（x）恒与x轴相切于坐标原点．

(1)、求常数b的值；

(2)、当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；

(3)、当0≤x≤1时关于x的不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣ $\sqrt{3}$ ）²+（y+1）²=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求圆C的极坐标方程；

(2)、直线OP：θ= $\frac{π}{6}$ （p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．

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23. 已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．

(1)、求M；

(2)、求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．

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年龄	[5，15）	[15，25）	[25，35）	[35，45）	[45，55）	[55，65）
频数	5	10	15	10	5	5
支持“生育二胎”	4	5	12	8	2	1

	年龄不低于45岁的人数	年龄低于45岁的人数	合计
支持	a=	c=
不支持	b=	d=
合计

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828