2016-2017学年上海市青浦一中高二上学期期中数学试卷

试卷更新日期：2016-12-16 类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知 $\vec{a}$ =（1，0）， $\vec{b}$ =（2，1），则| $\vec{a}$ +3 $\vec{b}$ |= ．

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2. 已知直线y=2x+2，该直线的单位方向向量 $\vec{d}$ =

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3. 直线的倾斜角α∈[ $\frac{π}{4}$ ， $\frac{3 π}{4}$ ]，则其斜率的取值范围是．

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4. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D}$ = ．

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5. 三阶行列式 $| \begin{matrix} 4 & 2 & k \\ - 3 & 5 & 4 \\ - 1 & 1 & - 2 \end{matrix} |$ 第2行第1列元素的代数余子式为﹣10，则k= ．

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6. 平面上三条直线x﹣2y+1=0，x﹣1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的取值集合为

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7. 定义 $(\begin{matrix} x_{n + 1} \\ y_{n + 1} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{n} \\ y_{n} \end{matrix})$ 为向量 $\vec{O P_{n}}$ =（x_n ， y_n）到向量 $\vec{O P_{n + 1}}$ =（x_n₊₁ ， y_n₊₁）的一个矩阵变换，其中O是坐标原点，n∈N^* ，已知 $\vec{O P_{1}}$ =（2，0），则 $\vec{O P_{2016}}$ 的坐标为

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8. 在△ABC中，| $\vec{B A}$ |=1，| $\vec{A C}$ |=2，且 $\vec{B A}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则BC边上的中线AD的长为．

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9. 在平面直角坐标系中， $\vec{O A}$ =（1，4）， $\vec{O B}$ =（﹣3，1），且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 在直线l方向向量上的投影的长度相等，若直线l的倾斜角为钝角，则直线l的斜率是．

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10. 如图△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点， $\vec{A M}$ = $\frac{1}{4} \vec{A B}$ +m• $\vec{A C}$ ，向量 $\vec{A M}$ 的终点M在△ACD的内部（不含边界），则实数m的取值范围是．

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11. 设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则| $\vec{P A}$ |•| $\vec{P B}$ |的最大值为

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12. （理科）已知点O是△ABC的重心，内角A，B，C所对的边长分别为a、b、c，且2a $\cdot \vec{O A} + b \cdot \vec{O B} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} c \cdot \vec{O C}$ = $\vec{0}$ ，则角C的大小是．

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二、选择题

13. 直线x﹣ay+2=0（a＜0）的倾斜角是（）

A、arctan $\frac{1}{a}$ B、﹣arctan $\frac{1}{a}$ C、π﹣arctan $\frac{1}{a}$ D、π+arctan $\frac{1}{a}$

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14. 点P在平面上做匀速直线运动，速度向量 $\vec{v} = (4 ， - 3)$ （即点P的运动方向与 $\vec{v}$ 相同，且每秒移动的距离为| $\vec{v}$ |个单位），设开始时点P的坐标为（﹣10，10），则5秒后点P的坐标为（）

A、（﹣2，4） B、（﹣30，25） C、（10，﹣5） D、（5，﹣10）

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15. 过点P₀（x₀ ， y₀）且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为（）

A、Bx+Ay﹣Bx₀﹣Ay₀=0 B、Bx﹣Ay﹣Bx₀+Ay₀=0 C、Bx+Ay+Bx₀+Ay₀=0 D、Bx﹣Ay+Bx₀﹣Ay₀=0

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16. 若A_i（i=1，2，3，…，n）是△AOB所在平面内的点，且 $\vec{O A_{i}}$ • $\vec{O B}$ = $\vec{O A}$ • $\vec{O B}$ ，给出下列说法：
·（1）| $\vec{O A_{1}}$ |=| $\vec{O A_{2}}$ |=| $\vec{O A_{3}}$ |=…=| $\vec{O A_{n}}$ |
·（2）| $\vec{O A_{i}}$ |的最小值一定是| $\vec{O B}$ |
·（3）点A和点A_i一定共线
·（4）向量 $\vec{O A}$ 及 $\vec{O A_{i}}$ 在向量 $\vec{O B}$ 方向上的投影必定相等
其中正确的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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三、解答题

17. 利用二阶行列式，讨论两条直线 ${\begin{matrix} l_{1} ： (m + 3) x + 5 y = 5 - 3 m \\ l_{2} ： 2 x + (m + 6) y = 8 \end{matrix}$ 的位置关系．

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18. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a}$ =（1，2）．

(1)、若| $\vec{c}$ |=2 $\sqrt{5}$ ，且 $\vec{c}$ ∥ $\vec{a}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标

(2)、若| $\vec{b}$ |= $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 垂直，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角θ

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19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b=c，∠A的平分线为AD，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A D}$ =m $\vec{A B}$ • $\vec{A C}$ ．

(1)、当m=2时，求cosA

(2)、当 $\frac{a}{b}$ ∈（1， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ）时，求实数m的取值范围．

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20. 已知等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且 $\vec{A P}$ =λ $\vec{A B}$ （0≤λ≤1）．

(1)、若等边三角形边长为6，且λ= $\frac{1}{3}$ ，求| $\vec{C P}$ |；

(2)、若 $\vec{A P}$ = $\frac{3}{5}$ $\vec{P B}$ ，求λ的值

(3)、若 $\vec{C P}$ • $\vec{A B}$ ≥ $\vec{P A}$ • $\vec{P B}$ ，求实数λ的取值范围．

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21. 将一张纸沿直线l对折一次后，点A（0，4）与点B（8，0）重叠，点C（6，8）与点D（m，n）重叠．

(1)、求直线l的方程；

(2)、求m+n的值；

(3)、直线l上是否存在一点P，使得||PB|﹣|PC||存在最大值，如果存在，请求出最大值，以及此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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