河北省石家庄市2018届高三下学期理数一模考试试卷（A卷）

试卷更新日期：2018-05-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ ， $A = {x | x \geq 3 ， x \in N}$ ，则 $C_{U} A =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7}$ C、 ${1 ， 3 ， 4 ， 7}$ D、 ${1 ， 4 ， 7}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位， $(1 + i) x = 2 + y i$ ，其中 $x ， y \in R$ ，则 $| x + y i | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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3. 函数 $f (x) = 2^{x} (x < 0)$ ，其值域为 $D$ ，在区间 $(- 1 ， 2)$ 上随机取一个数 $x$ ，则 $x \in D$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 点 $B$ 是以线段 $A C$ 为直径的圆上的一点，其中 $| A B | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{A B} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为 $s = 25$ ，则判断框中可填写的关于 $i$ 的条件是（）

A、 $i \leq 4 ?$ B、 $i \geq 4 ?$ C、 $i \leq 5 ?$ D、 $i \geq 5 ?$

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7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就独立创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ， $a > b > c$ ），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）

A、82平方里 B、83平方里 C、84平方里 D、85平方里

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8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）

A、 $8 + 3 π$ B、 $8 + 4 π$ C、 $8 + 5 π$ D、 $8 + 6 π$

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9. 已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 2 b ， 1 + b]$ 上的偶函数，且在 $[- 2 b ， 0]$ 上为增函数，则 $f (x - 1) \leq f (2 x)$ 的解集为（）

A、 $[- 1 ， \frac{2}{3}]$ B、 $[- 1 ， \frac{1}{3}]$ C、 $[- 1 ， 1]$ D、 $[\frac{1}{3} ， 1]$

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10. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，则 $A C + \sqrt{3} B C$ 的最大值为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $4 \sqrt{7}$

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11. 过抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，点 $C$ 在直线 $y = - 1$ 上，若 $Δ A B C$ 为正三角形，则其边长为（）

A、11 B、12 C、13 D、14

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12. 设 $x O y$ ， $x' O y'$ 为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点， $O x$ 正方向到 $O x'$ 正方向的角度为 $θ$ ，那么对于任意的点 $M$ ，在 $x O y$ 下的坐标为 $(x ， y)$ ，那么它在 $x' O y'$ 坐标系下的坐标 $(x' ， y')$ 可以表示为： $x' = x cos θ + y sin θ$ ， $y' = y cos θ - x sin θ$ .根据以上知识求得椭圆 $3 x'^{2} - 2 \sqrt{3} x' y' + 5 y'^{2} - 1 = 0$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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二、填空题

13. 命题 $p$ ： $\exists x_{0} \geq 1$ ， $x_{0}^{2} - 2 x_{0} - 3 < 0$ 的否定为

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14. 甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是体育委员，一位是学习委员，已知丙的年龄比学委的大，甲与体委的年龄不同，体委比乙年龄小.据此推断班长是

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15. 一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1}$ ， $g (x) = \frac{ln x}{x}$ ，若函数 $y = f (g (x)) + a$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ （其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ），则 $2 g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3})$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{n} = 2^{n + 1} + m (m \in R)$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{(2 n + 1) {log}_{2} (a_{n} \cdot a_{n + 1})}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 四棱锥 $S - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A B / / C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 2$ ， $Δ S A D$ 为正三角形.

(1)、点 $M$ 为棱 $A B$ 上一点，若 $B C / /$ 平面 $S D M$ ， $\overset{⇀}{A M} = λ \overset{⇀}{A B}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(2)、求点B到平面SAD的距离.

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19. 小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.
（参考数据： ${0.6}^{2} = 0.36$ ， ${1.4}^{2} = 1.96$ ， ${2.6}^{2} = 6.76$ ， ${3.4}^{2} = 11.56$ ， ${3.6}^{2} = 12.96$ ， ${4.6}^{2} = 21.16$ ， ${15.6}^{2} = 243.36$ ， ${20.4}^{2} = 416.16$ ， ${44.4}^{2} = 1971.36$ ）

(1)、请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪 $y$ （单位：元）与送货单数 $n$ 的函数关系式；

(2)、根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在 $(\frac{2 (n - 1)}{10} ， \frac{2 n}{10}]$ $(n = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5)$ 时，日平均派送量为 $50 + 2 n$ 单.
若将频率视为概率，回答下列问题：
①根据以上数据，设每名派送员的日薪为 $X$ （单位：元），试分别求出甲、乙两种方案的日薪 $X$ 的分布列，数学期望及方差；
②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $M$ 为椭圆上任意一点，当 $∠ F_{1} M F_{2} = 90^{\circ}$ 时， $Δ F_{1} M F_{2}$ 的面积为1.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $A$ 是椭圆 $C$ 上异于椭圆顶点的一点，延长直线 $A F_{1}$ ， $A F_{2}$ 分别与椭圆交于点 $B$ ， $D$ ，设直线 $B D$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $O A$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求证： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值.

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21. 已知函数 $f (x) = (x + b) (e^{x} - a)$ ， $(b > 0)$ ，在 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为 $(e - 1) x + e y + e - 1 = 0$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ ；

(2)、若方程 $f (x) = m$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $x_{2} - x_{1} \leq 1 + \frac{m (1 - 2 e)}{1 - e}$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} + r c o s φ \\ y = 1 + r s i n φ \end{matrix}$ （ $r > 0$ ， $φ$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ - \frac{π}{3}) = 1$ ，若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相切；

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、在曲线 $C$ 上取两点 $M$ ， $N$ 与原点 $O$ 构成 $Δ M O N$ ，且满足 $∠ M O N = \frac{π}{6}$ ，求面积 $Δ M O N$ 的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2 | x - 3 | - | x | - m}$ 的定义域为 $R$ ；

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设实数 $t$ 为 $m$ 的最大值，若实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = t^{2}$ ，求 $\frac{1}{a^{2} + 1} + \frac{1}{b^{2} + 2} + \frac{1}{c^{2} + 3}$ 的最小值.

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