2016-2017学年广东省清远市清城三中高二上学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-14 类型：期中考试

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一、选择题

1. 双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{n}$ =1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，则mn的值为（）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{8}{3}$

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2. 函数f（x）在R上可导，且f（x）=x²f′（2）﹣3x，则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（）

A、f（﹣1）=f（1） B、f（﹣1）＞f（1） C、f（﹣1）＜f（1） D、不确定

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3. 已知F₁（﹣3，0），F₂（3，0）是椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{n}$ =1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F₁PF₂=α．当α= $\frac{2 π}{3}$ 时，△F₁PF₂面积最大，则m+n的值是（）

A、41 B、15 C、9 D、1

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4. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F₁、F₂ ，点A在C上，若|F₁A|=2|F₂A|，则cos∠AF₂F₁=（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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5. 命题“∃x₀∈R，2x₀﹣3＞1”的否定是（）

A、∃x₀∈R，2x₀﹣3≤1 B、∀x∈R，2x﹣3＞1 C、∀x∈R，2x﹣3≤1 D、∃x₀∈R，2x₀﹣3＞1

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6. 已知f（x）=xln x，若f′（x₀）=2，则x₀等于（）

A、e² B、e C、 $\frac{\ln 2}{2}$ D、ln 2

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7. 抛物线y=ax²的准线方程是y=2，则a的值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、- $\frac{1}{8}$ C、8 D、﹣8

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8. 下列说法中正确的是（）

A、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B、“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价 C、“a²+b²=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a²+b²≠0” D、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

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9. 函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的图象如图，则函数y=ax²+ $\frac{3}{2}$ bx+ $\frac{c}{3}$ 的单调递增区间是（）

A、（﹣∞，2] B、 $[\frac{1}{2}$ ，+∞） C、[﹣2，3] D、 $[\frac{9}{8}$ ，+∞）

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10. 在下列结论中，正确的结论是（）
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；
③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；
④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．

A、①② B、①③ C、②④ D、③④

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11. 若不等式2xlnx≥﹣x²+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，0） B、（0，+∞） C、（﹣∞，4] D、[4，+∞）

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12. 定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞f（x）恒成立，若x₁＜x₂ ，则 $e^{x_{1}}$ f（x₂）与 $e^{x_{2}}$ f（x₁）的大小关系为（）

A、 $e^{x_{1}}$ f（x₂）＞ $e^{x_{2}}$ ex₂f（x₁） B、 $e^{x_{1}}$ f（x₂）＜ $e^{x_{2}}$ f（x₁） C、 $e^{x_{1}}$ f（x₂）= $e^{x_{2}}$ f（x₁） D、 $e^{x_{1}}$ f（x₂）与 $e^{x_{2}}$ f（x₁）的大小关系不确定

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二、填空题

13. 在△ABC中，若角A，B，C成等差数列，且边a=2，c=5，则S_△_abc= ．

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14. 已知{a_n}的前项之和S_n=2ⁿ+1，则此数列的通项公式为．

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15. 已知S_n为等差数列{a_n}的前n项和，a₁=25，a₄=16，当n=时，S_n取得最大值．

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16. 在数列{a_n}中，a₁=2，a_n₊₁=a_n+ln（1+ $\frac{1}{n}$ ），则a_n= ．

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三、解答题

17. 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= $\frac{7}{9}$ ．

(1)、求a，c的值；

(2)、求sin（A﹣B）的值．

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18. 等差数列{a_n}中，a₂=4，a₄+a₇=15．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=2 $^{a_{n} - 2}$ +n，求b₁+b₂+b₃+…+b₁₀的值．

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19. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足向量 $\vec{m}$ =（cosA，cosB）， $\vec{n}$ =（a，2c﹣b）， $\vec{m}$ ∥ $\vec{n}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若a=2 $\sqrt{5}$ ，求△ABC面积的最大值．

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20. 如图，在△ABC中，B= $\frac{π}{3}$ ，BC=2，点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，

(1)、若△BCD的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求CD的长；

(2)、若ED= $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，求角A的大小．

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21. 等差数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₂=2，S₅=15，数列{b_n}，b₁=1，对任意n∈N₊满足b_n₊₁=2b_n+1．

(1)、数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、设c_n= $\frac{a_{n}}{b_{n} + 1}$ ，求数列{c_n}的前n项和T_n ．

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22. 设命题p：实数x满足x²﹣4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 ${\begin{matrix} x^{2} - x - 6 \leq 0 \\ x^{2} + 2 x - 8 ＞ 0 \end{matrix}$ ．

(1)、若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)、若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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