广东省广州市海珠区等五区2017-2018学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2018-04-28 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $M = {x | x^{2} - p x + 6 = 0}$ ， $N = {x | x^{2} + 6 x - q = 0}$ ，且 $M \cap N = {2}$ ，则 $p + q =$ （）

A、 $21$ B、 $8$ C、 $6$ D、 $7$

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2. 下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1} ， g (x) = x + 1$ B、 $f (x) = \sqrt{x^{2}} ， g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ C、 $f (x) = | x | ， g (x) = \sqrt{x^{2}}$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1} ， g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

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3. 下列函数中，值域为 $[0 ， + \infty)$ 的偶函数是（）

A、 $y = x^{2} + 1$ B、 $y = lg x$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = | x |$

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4. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x}$ B、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ C、 $y = lg | x |$ D、 $y = 3^{x}$

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5. 设 $a = {0.6}^{0.6} ， b = {0.6}^{1.5} ， c = {1.5}^{0.6}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < c < a$

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6. 函数 $f (x) = 2^{x} + 3 x$ 的零点所在的一个区间是（）

A、 $（ - 2 ， - 1 ）$ B、 $（ - 1 ， 0 ）$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， 2)$

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7. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} 1 + {log}_{2} (2 - x) ， x < 1 \\ 2^{x - 1} ， x \geq 1 \end{matrix} ，则 f (- 2) + f ({log}_{2} 12) =$ （）

A、3 B、6 C、 $9$ D、 $12$

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8. 函数 $y = \frac{x a^{x}}{| x |}$ $(0 < a < 1)$ 的图象的大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 直线 $k x - y - k = 0 (k \in R)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 交点的个数为（）

A、2个 B、1个 C、0个 D、不确定

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10. 圆 $C_{1} ：$ ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ：$ ${(x + 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 36$ 的位置关系是（）

A、相离 B、外切 C、相交 D、内切

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11. 设 $α ， β$ 是两个不同的平面， $l$ 是一条直线，以下命题正确的是（）

A、若 $l ⊥ α ， α ⊥ β$ ，则 $l \subset β$ B、若 $l ⊥ α ， α / / β$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $l / / α ， α / / β$ ，则 $l \subset β$ D、若 $l / / α ， α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$

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12. 某几何体的三视图如下图所示，它的体积为（）

A、 $72 π$ B、 $48 π$ C、 $30 π$ D、 $24 π$

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二、填空题

13. 计算 $\frac{{log}_{9} 16}{{log}_{3} 4} =$ .

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14. 经过 $P (1 ， 3)$ ， $Q (3 ， 5)$ 两点的直线的倾斜角是 .

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15. 若函数 $f (x) = a^{x - 1} (a > 1)$ 在区间[2，3]上的最大值比最小值大 $\frac{a}{2}$ ，则 $a =$ .

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16. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 .

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的三个顶点 $A (- 2 ， 4) ， B (- 3 ， - 1) ， C (1 ， 3) ．$

(1)、求 $B C$ 边上高所在直线的方程；

(2)、求 $Δ A B C$ 的面积 $S$ ．

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A C ⊥ B C$ ， $B C = C C_{1}$ ，设 $A B_{1}$ 的中点为D， $B C_{1} \cap B C_{1} = E$ .
求证：

(1)、 $D E ∥ 平面 A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、 $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - 1}{a^{x} + 1} (a > 1)$ .

(1)、根据定义证明：函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， + \infty)$ 上是增函数；

(2)、根据定义证明：函数 $f (x)$ 是奇函数.

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20. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = S B = A C = B C = 2 ， A B = 2 \sqrt{3} ， S C = 1$ .

(1)、画出二面角 $S - A B - C$ 的平面角，并求它的度数；

(2)、求三棱锥 $S - A B C$ 的体积.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C$ 经过 $P (3 + 2 \sqrt{2} ， 0) ， Q (3 - 2 \sqrt{2} ， 0) ， R (0 ， 1)$ 三点．

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若圆 $C$ 与直线 $x - y + a = 0$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求 $a$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + m x + m - 1 (a \neq 0)$ .

(1)、若 $f (- 1) = 0$ ，判断函数 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、若对任意实数 $m$ ，函数 $f (x)$ 恒有两个相异的零点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、已知 $x_{1} ， x_{2} \in R$ R且 $x_{1} < x_{2}$ ， $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，求证：方程 $f (x) = \frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})]$
在区间 $(x_{1} ， x_{2})$ 上有实数根.

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