重庆市九校联盟2018届高三上学期文数第一次联合考试试卷

试卷更新日期：2018-04-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | \frac{1}{x} < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${- 1 ， 0}$ D、 ${- 1 ， 2}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，且 $(1 + i) z = - 1$ ，则复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. ${log}_{2} (cos \frac{7 π}{4})$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4. 已知随机事件 $A ， B$ 发生的概率满足条件 $P (A \cup B) = \frac{3}{4}$ ，某人猜测事件 $\bar{A} \cap \bar{B}$ 发生，则此人猜测正确的概率为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、0

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5. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作双曲线 $C$ 的渐近线的垂线，垂足为 $A$ ，且交 $y$ 轴于 $B$ ，若 $A$ 为 $B F$ 的中点，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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6. 某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3} (π + 1)}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3} (π + 2)}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3} (π + 1)}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3} (π + 2)}{6}$

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7. 将函数 $y = sin (x - \frac{π}{4})$ 的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，则所得函数图象的解析式为（）

A、 $y = sin (\frac{x}{2} - \frac{5 π}{24})$ B、 $y = sin (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ C、 $y = sin (\frac{x}{2} - \frac{5 π}{12})$ D、 $y = sin (2 x - \frac{7 π}{12})$

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8. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $s = 6$ ，则 $N$ 的所有可能取之和等于（）

A、19 B、21 C、23 D、25

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9. 已知抛物线 $C ： y = 2 p x^{2}$ 经过点 $M (1 ， 2)$ ，则该抛物线的焦点到准线的距离等于（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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10. 已知 $a ， b ， c$ 分别是 $Δ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边， $a sin B = \sqrt{3} b cos A$ ，当 $b + c = 4$ 时， $Δ A B C$ 面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11. 设定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $x f^{'} (x) > 1$ ，则（）

A、 $f (2) - f (1) > ln 2$ B、 $f (2) - f (1) < ln 2$ C、 $f (2) - f (1) > 1$ D、 $f (2) - f (1) < 1$

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12. 设 $m ， θ \in R$ ，则 ${(2 \sqrt{2} - m - cos θ)}^{2} + {(2 \sqrt{2} + m - sin θ)}^{2}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、9 D、16

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1 ， - 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2 ， m)$ ，且 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$ ，则 $\overset{⇀}{a} • \overset{⇀}{b} =$ ．

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x + 3 y \leq 5 \\ x - y \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = 3 x + y$ 的最大值为．

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15. 已知奇函数 $f (x)$ 的图像关于直线对称，当 $x \in [0 ， 3]$ 时， $f (x) = - x$ ，则 $f (- 16) =$ ．

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16. 半径为 $R$ 的球 $O$ 放置在水平平面 $α$ 上，点 $P$ 位于球 $O$ 的正上方，且到球 $O$ 表面的最小距离为 $R$ ，则从点 $P$ 发出的光线在平面 $α$ 上形成的球 $O$ 的中心投影的面积等于．

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三、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 是公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{5} = 35$ ， $a_{1} ， a_{4} ， a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照 $[0 ， 0.5)$ 、 $[0.5 ， 1)$ 、…、 $[4 ， 4.5]$ 从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.

(1)、求图中 $a$ 的值；

(2)、估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；

(3)、在 $[1 ， 1.5)$ 、 $[1.5 ， 2)$ 这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率.

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19. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是正方形， $A_{1} B_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$ .

(1)、证明： $A B_{1} ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、当三棱锥 $A - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为2， $A A_{1} = 2$ 时，求点 $C$ 到平面 $A B_{1} C_{1}$ 的距离.

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20. 如图， $A ， B$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 长轴的两个端点， $P ， Q$ 是椭圆 $C$ 上都不与 $A ， B$ 重合的两点，记直线 $B Q ， A Q ， A P$ 的斜率分别是 $k_{B Q} ， k_{A Q} ， k_{A P}$ .

(1)、求证： $k_{B Q} • k_{A Q} = - \frac{1}{4}$ ；

(2)、若 $k_{A P} = 4 k_{B Q}$ ，求证：直线 $P Q$ 恒过定点，并求出定点坐标.

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21. 设函数 $f (x) = e^{x} - a sin x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，证明： $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $f (x) > 1$ ；

(2)、若 $\forall x \in [0 ， + \infty)$ ， $f (x) \geq 0$ 都成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与 $x$ 轴的正半轴重合，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 cos θ$ ，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - \frac{3}{5} t + 2 \\ y = \frac{4}{5} t + 1 \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.

(1)、求直线 $l$ 和圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P (2 ， 1)$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $| P A | • | P B |$ 的值.

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) > x + 5$ ；

(2)、若对于任意 $x ， y \in R$ ，有 $| x - 3 y - 1 | < \frac{1}{4}$ ， $| 2 y + 1 | < \frac{1}{6}$ ，求证： $f (x) < 1$ .

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