全国名校大联考2018届高三理数第三次联考试卷

试卷更新日期：2018-04-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} < 9, x \in Z}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 ${0, 1, 2}$ B、 $[0, 1]$ C、 ${0, 2}$ D、 ${0, 1}$

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2. 数字2.5和6.4的等比中项是（）

A、16 B、 $\pm 16$ C、4 D、 $\pm 4$

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3. 不等式 ${log}_{2} (x^{2} - x - 5) \geq 0 (x > 0)$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 3]$ B、 $(- \infty, - 2]$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [3, + \infty)$

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4. 设 $a = sin 33^{\circ} ， b = cos 55^{\circ} ， c = tan 35^{\circ}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ ，“ ${a_{n}}$ 为等差数列”是“ $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} = 3 n + 2$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 若 $a < b < 0$ ，则下列不等式中一定不成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\sqrt{- a} > \sqrt{- b}$ C、 $| a | > - b$ D、 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$

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7. 曲线 $y = x e^{x - 1}$ 在点 $(1, 1)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 2 x + 1$ B、 $y = 2 x - 1$ C、 $y = x + 2$ D、 $y = x - 2$

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8. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1}^{2} + a_{n}^{2} = 2 a_{n + 1} \cdot a_{n} (n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前32项和为（）

A、64 B、32 C、16 D、128

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9. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + y - 6 \geq 0 \\ x + 2 y - 6 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + y$ 取最小值时的最优解是（）

A、 $(6 ， 0)$ B、 $(3 ， 0)$ C、 $(0 ， 6)$ D、 $(2 ， 2)$

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10. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{4} = 20, a_{12} = - 20$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的第 $n$ 项到第 $n + 3$ 项的和为 $T_{n}$ ，则 $| T_{n} |$ 取得最小值时的 $n$ 的值为（）

A、6 B、8 C、6或7 D、7或8

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11. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + 2)$ ，当 $x \in [3 ， 5]$ 时， $f (x) = {(x - 4)}^{2}$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{2}) = sin \frac{π}{6}$ B、 $f (\frac{1}{2}) = sin \frac{π}{3}$ C、 $f (\frac{1}{2}) > sin \frac{π}{6}$ D、 $f (\frac{1}{2}) < sin \frac{π}{3}$

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12. 设函数 $f (x)$ 是定义在 $(0, + \infty)$ 上的单调函数，且对于任意正数 $x, y$ 有 $f (x y) = f (x) + f (y)$ ，已知 $f (\frac{1}{2}) = - 1$ ，若一个各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $f (S_{n}) = f (a_{n}) + f (a_{n} + 1) - 1 (n \in N^{*})$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则数列 ${a_{n}}$ 中第18项 $a_{18} =$ （）

A、 $\frac{1}{36}$ B、9 C、18 D、36

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二、填空题

13. 不等式 $x^{2} - 2 a x - 3 a^{2} < 0 (a > 0)$ 的解集为．

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14. 等比数列 ${b_{n}}$ 中， $b_{5} = - 2$ ， $b_{7} = - 4$ ，则 $b_{11}$ 的值为．

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15. 设 $M$ 为平行四边形 $A B C D$ 对角线的交点， $O$ 为平行四边形 $A B C D$ 所在平面内任意一点， $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} + \overset{⇀}{O C} + \overset{⇀}{O D} = λ \overset{⇀}{O M}$ ，则 $λ =$ ．

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16. 若不等式 $\frac{t}{t^{2} + 9} \leq a \leq \frac{t + 2}{t^{2}}$ 在 $t \in (0, 2]$ 上恒成立，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{4} + \frac{5}{4 x} - ln x - \frac{3}{2}$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间与极值．

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18. 某市垃圾处理站每月的垃圾处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本 $y$ （元）与月垃圾处理量 $x$ （吨）之间的函数关系可近似地表示为 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000$ ，且每处理一吨垃圾得到可利用的资源值为100元．

(1)、该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低？

(2)、该站每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要市财政补贴，至少补贴多少元才能使该站不亏损？

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19. 已知首项为1的等差数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{11} = a_{2} a_{4}$ ．

(1)、若数列 ${b_{n}}$ 是以 $a_{1}$ 为首项、 $a_{2}$ 为公比的等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(2)、若 $y = S_{n - 1} - 5 a_{n} (n \geq 2)$ ，求 $y$ 的最小值．

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20. 已知 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + cos 2 x$ ，在 $Δ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对的边，且对 $f (x)$ 满足 $f (A) = 2$ ．

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $Δ A B C$ 面积的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = (3 x - 1) a - 2 x + b$ ．

(1)、若 $f (\frac{2}{3}) = \frac{20}{3}$ ，且 $a > 0 ， b > 0$ ，求 $a b$ 的最大值；

(2)、当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) \leq 1$ 恒成立，且 $2 a + 3 b \geq 3$ ，求 $z = \frac{a + b + 2}{a + 1}$ 的取值范围．

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22. 数列 ${a_{n}}$ 是首项与公比均为 $a$ 的等比数列（ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ），数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} \cdot lg a_{n}$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(2)、若对一切 $n \in N^{*}$ 都有 $b_{n} < b_{n + 1}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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