四川省广元市2018届高三文数第一次高考适应性统考试卷

试卷更新日期：2018-04-28 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 8 \geq 0}$ ， $N = {x | - 3 \leq x < 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[- 3, 3)$ B、 $[- 3, - 2]$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $[2, 3)$

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2. “ $x > 3$ 且 $y > 3$ ”是“ $x + y > 6$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、即不充分也不必要条件

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3. 设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，且 $m \subset α, n \subset β$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ B、若 $α / / β$ ，则 $m / / n$ C、若 $m ⊥ n$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $n ⊥ α$ ，则 $α ⊥ β$

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4. 已知向量 $\vec{a} = (3, 1), \vec{b} = (2 k - 1, k)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $k$ 的值是（）

A、-1 B、 $\frac{3}{7}$ C、- $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5. 若 $cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{25}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{13}{5}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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6. 执行如图所求的程序框图，输出的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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7. 二维空间中，圆的一维测度（周长） $l = 2 π r$ ，二维测度（面积） $S = π r^{2}$ ，三维空间中，球的二维测度（表面积） $S = 4 π r^{2}$ ，三维测度（体积） $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ ，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度 $V = 8 π r^{3}$ ,则其四维测度W=（）

A、 $2 π r^{4}$ B、 $3 π r^{4}$ C、 $4 π r^{4}$ D、 $6 π r^{4}$

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8. 已知函数 $y = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 一个周期内的图象如图所示， $A (- \frac{π}{6} ， 0)$ ， $C$ 为图象上的最高点，则 $ω ， φ$ 的值为（）

A、 $ω = \frac{1}{2} ， φ = \frac{π}{12}$ B、 $ω = \frac{1}{2} ， φ = \frac{π}{3}$ C、 $ω = 2 ， φ = \frac{π}{3}$ D、 $ω = 2 ， φ = \frac{π}{6}$

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9. 在区间[-1,1]上任选两个数 $x 和 y$ ，则 $x^{2} + y^{2} \geq 1$ 的概率为（）

A、 $1 - \frac{π}{4}$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{π}{8}$ C、 $1 - \frac{π}{8}$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{π}{4}$

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 的图象关于（1，1）对称， $g (x) = {(x - 1)}^{3} + 1$ ，若函数 $f (x)$ 图象与函数 $g (x)$ 图象的交点为 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{2018}, y_{2018})$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2018} (x_{i} + y_{i}) =$ （）

A、8072 B、6054 C、4036 D、2018

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11. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} a ， x = 0 \\ {(\frac{1}{e})}^{| x |} + 1 ， x \neq 0 \end{matrix}$ ，若关于 $x$ 的方程 $2 f^{2} (x) - (2 a + 3) f (x) + 3 a = 0$ 有五个不同的零点，则 $a$ 的取值范围（）

A、（1，2） B、 $[\frac{3}{2} ， 2)$ C、 $(1 ， \frac{3}{2})$ D、 $(1 ， \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2} ， 2)$

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12. 若正项递增等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $1 + (a_{2} - a_{4}) + λ (a_{3} - a_{5}) = 0 (λ \in R)$ ，则 $a_{8} + λ a_{9}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{27}{4}$ D、 $- \frac{27}{4}$

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二、填空题

13. 已知 $a$ 是实数， $i$ 是虚数单位，若 $z = a^{2} - 1 + (a + 1) i$ 是纯虚数，则 $a =$ ．

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14. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件： ${\begin{cases} x + y \geq 3 \\ x - y \geq - 1 \\ 2 x - y \leq 3 \end{cases}$ ，则目标函数 $z = \frac{y + 1}{x}$ 的最小值为．

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15. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为．

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16. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = 2 A C = 6 ， \overset{⇀}{B A} \cdot \overset{⇀}{B C} = {\overset{⇀}{B A}}^{2}$ ，点 $P$ 是 $Δ A B C$ 所在平面内一点，则当 ${\overset{⇀}{P A}}^{2} + {\overset{⇀}{P B}}^{2} + {\overset{⇀}{P C}}^{2}$ 取得最小值时， $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ ．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = k (3^{n} - 1)$ ，且 $a_{3} = 27$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = {log}_{3} a_{n}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 设函数 $f (x) = cos (2 x + \frac{2 π}{3}) + 2 {cos}^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最大值，并写出使 $f (x)$ 取最大值时 $x$ 的集合；

(2)、已知 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (A) = \frac{3}{2}$ ， $b + c = 2$ ，求 $a$ 的最小值.

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19. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成 $[0 ， 10) ， [10 ， 20) ， [20 ， 30) ， [30 ， 40) ， [40 ， 50) ， [50 ， 60)$ 六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.
附加公式：
$k^{2} = \frac{n (a d - b d)}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、请根据直方图中的数据填写下面的 $2 \times 2$ 列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

(2)、在[0，10），[40，50）这两组中采取分层抽样，抽取6人，再从这6名学生中随机抽取2人参加体育知识问卷调查，求这2人中一人来自“课外体育达标”和一人来自“课外体育不达标”的概率．

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20. 如图四棱锥 $P - A B C D$ ，底面梯形 $A B C D$ 中， $A B / / D C$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，已知 $B D = 2 A D = 4 ， A B = 2 D C = 2 B C = 2 \sqrt{5}$ .

(1)、求证： $B D ⊥ P A$ ；

(2)、线段 $P C$ 上是否存在点 $M$ ，使三棱锥 $P - A B D$ 体积为三棱锥 $P - M B D$ 体积的6倍.若存在，找出点 $M$ 的位置；若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = x ln x - \frac{a}{2} x^{2} - x + a (a \in R)$ 在其定义域内有两个不同的极值点.

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $(e + \frac{1}{2}) (e + \frac{1}{2^{2}}) (e + \frac{1}{2^{3}}) \dots (e + \frac{1}{2^{n}}) < e^{n + \frac{1}{e}} ， (n \in N *)$

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 4 c o s a + 2 \\ y = 4 s i n a \end{matrix} (a$ 为参数），以 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{6} (ρ \in R)$ .

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、设直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求 $| A B |$ 的值.

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知关于 $x$ 的不等式 $| x - 2 | - | x + 3 | \geq | m + 1 |$ 有解，记实数 $m$ 的最大值为 $M$ .

(1)、求 $M$ 的值；

(2)、正数 $a, b, c$ 满足 $a + 2 b + c = M$ ，求证： $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} \geq 1$ .

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