河南省郑州市2018届高中毕业班文数第一次模拟试卷

试卷更新日期：2018-04-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $\frac{3 - i}{i}$ （ $i$ 为虚数单位）等于（）

A、 $- 1 - 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $1 - 3 i$

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2. 设集合 $A = {x | 1 < x < 2}$ ， $B = {x | x < a}$ ，若 $A \cap B = A$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 ${a | a \leq 2}$ B、 ${a | a \leq 1}$ C、 ${a | a \geq 1}$ D、 ${a | a \geq 2}$

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3. 设向量 $a = (1, m)$ ， $b = (m - 1, 2)$ ，且 $a \neq b$ ，若 $(a - b) ⊥ a$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、1 D、2

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4. 下列说法正确的是（）

A、“若 $a > 1$ ，则 $a^{2} > 1$ ”的否命题是“若 $a > 1$ ，则 $a^{2} \leq 1$ ” B、“若 $a m^{2} < b m^{2}$ ，则 $a < b$ ”的逆命题为真命题 C、 $\exists x_{0} \in (0, + \infty)$ ，使 $3^{x_{0}} > 4^{x_{0}}$ 成立 D、“若 $sin α \neq \frac{1}{2}$ ，则 $α \neq \frac{π}{6}$ ”是真命题

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5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果 $n =$ （）

A、5 B、4 C、3 D、2

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6. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）

A、10cm³ B、20cm³ C、30cm³ D、40cm³

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7. 若将函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x + \frac{π}{3})$ 图象上的每一个点都向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $y = g (x)$ 的图象，则函数 $y = g (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[k π + \frac{π}{4}, k π + \frac{3 π}{4}] (k \in Z)$ B、 $[k π - \frac{π}{4}, k π + \frac{π}{4}] (k \in Z)$ C、 $[k π - \frac{2 π}{3}, k π - \frac{π}{6}] (k \in Z)$ D、 $[k π - \frac{π}{12}, k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 2} - 2 a_{n + 1} + a_{n} = 0 (n \in N^{*})$ ，记 $T_{n} = \frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + ... + \frac{1}{S_{n}} (n \in N^{*})$ ，则 $T_{2018} =$ （）

A、 $\frac{4034}{2018}$ B、 $\frac{2017}{2018}$ C、 $\frac{4036}{2019}$ D、 $\frac{2018}{2019}$

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x} - a, x \leq 0 \\ 2 x - a, x > 0 \end{matrix} (a \in R)$ ，若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $（ 0 ， 1]$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点和上顶点分别为 $A ， B$ ，左、右焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，在线段 $A B$ 上有且只有一个点 $P$ 满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则椭圆的离心率的平方为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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11. 我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数 $a ， b$ 满足 $a ， G ， b$ 成等差数列且 $x ， G ， y$ 成等比数列，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $2$ C、 $\frac{9}{4}$ D、9

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12. 若对于任意的正实数 $x ， y$ 都有 $(2 x - \frac{y}{e}) \cdot ln \frac{y}{x} \leq \frac{x}{m e}$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{e} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{e^{2}} ， 1]$ C、 $(\frac{1}{e^{2}} ， e]$ D、 $(0 ， \frac{1}{e}]$

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二、填空题

13. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 1 ， \\ x + y - 4 \leq 0 ， \\ x - 3 y + 4 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则目标函数 $z = 4 x - y$ 的最小值为.

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14. 直线 $a x + 2 y + 3 a = 0$ 与直线 $3 x + (a - 1) y = a - 7$ 平行，则实数a= ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 ${log}_{2} a_{n + 1} = 1 + {log}_{2} a_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{10} = 1$ ，则 ${log}_{2} (a_{101} + a_{102} + ... + a_{110}) =$ .

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16. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 向双曲线的一条渐进线引垂线，垂足为 $M$ ，交另一条渐近线于 $N$ ，若 $2 \vec{M F} = \vec{F N}$ ，则双曲线的离心率．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c cos B = 2 a + b$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $S = \frac{\sqrt{3}}{2} c$ ，求 $a b$ 的最小值.

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18. 2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：
男生测试情况：
抽样情况
病残免试
不合格
合格
良好
优秀
人数
5
10
15
47
$x$
女生测试情况
抽样情况
病残免试
不合格
合格
良好
优秀
人数
2
3
10
$y$
2

(1)、现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；

(2)、若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？

男性
女性
总计
体育达人

非体育达人

总计

临界值表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
附：（ $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ）

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = 6$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 2 \sqrt{6}$ ， $D ， E$ 为线段 $A B$ 上的点，且 $A D = 2 D B$ ， $P D ⊥ A C$ .

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $∠ P A B = \frac{π}{4}$ ，求点 $B$ 到平面 $P A C$ 的距离.

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20. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + 1 = 0$ 和抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，圆心 $C$ 到抛物线焦点 $F$ 的距离为 $\sqrt{17}$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、不过原点的动直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点，且满足 $O A ⊥ O B$ .设点 $M$ 为圆 $C$ 上任意一动点，求当动点 $M$ 到直线 $l$ 的距离最大时的直线 $l$ 方程.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - a (x + 1)$ ， $a \in R$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行.

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若存在 $x_{0} > 1$ ，当 $x \in (1 ， x_{0})$ 时，恒有 $f (x) - \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{1}{2} > k (x - 1)$ 成立，求 $k$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 过点 $(1, 0)$ ，倾斜角为 $α$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程是 $ρ = \frac{8 cos θ}{1 - {cos}^{2} θ}$ .

(1)、写出直线 $l$ 的参数方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $α = \frac{π}{4}$ ，设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $△ A O B$ 的面积.

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23. 设函数 $f (x) = | x + 3 |$ ， $g (x) = | 2 x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) < g (x)$ ；

(2)、若 $2 f (x) + g (x) > a x + 4$ 对任意的实数 $x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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抽样情况	病残免试	不合格	合格	良好	优秀
人数	5	10	15	47	$x$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

	男性	女性	总计
体育达人
非体育达人
总计