河南省郑州市2018届高中毕业班理数第一次模拟试卷

试卷更新日期：2018-04-27 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | 2^{x} < 16}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 4)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(4, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (4, + \infty)$

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2. 若复数 $z = (a^{2} - a - 2) + (a + 1) i$ 为纯虚数（ $i$ 为虚数单位），则实数 $a$ 的值是（）

A、 $- 2$ B、 $- 2$ 或1 C、2或 $- 1$ D、2

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3. 下列说法正确的是（）

A、“若 $a > 1$ ，则 $a^{2} > 1$ ”的否命题是“若 $a > 1$ ，则 $a^{2} \leq 1$ ” B、“若 $a m^{2} < b m^{2}$ ，则 $a < b$ ”的逆命题为真命题 C、 $\exists x_{0} \in (0, + \infty)$ ，使 $3^{x_{0}} > 4^{x_{0}}$ 成立 D、“若 $sin α \neq \frac{1}{2}$ ，则 $α \neq \frac{π}{6}$ ”是真命题

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4. 在 $(x + \frac{3}{\sqrt{x}})$ ⁿ 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32，则x²的系数为（）

A、50 B、70 C、90 D、120

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 9$ ，前3项和为 $S_{3} = 3 \int \begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix} x^{2} d x$ ，则公比 $q$ 的值是（）

A、1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、1或 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 1$ 或 $- \frac{1}{2}$

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6. 若将函数 $f (x) = 3 sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 图象上的每一个点都向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $y = g (x)$ 是奇函数，则函数 $y = g (x)$ 的单调递增区间为（）

A、 $[k π - \frac{π}{4} ， k π + \frac{π}{4}] (k \in Z)$ B、 $[k π + \frac{π}{4} ， k π + \frac{3 π}{4}] (k \in Z)$ C、 $[k π - \frac{2 π}{3} ， k π - \frac{π}{6}] (k \in Z)$ D、 $[k π - \frac{π}{12} ， k π + \frac{5 π}{12}] (k \in Z)$

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7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(30 ， 42]$ B、 $(30 ， 42)$ C、 $(42 ， 56]$ D、 $(42 ， 56)$

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8. 刍薨（ $c h u h o n g$ ），中国古代算术中的一种几何形体，《九章算术》中记载“刍薨者，下有褒有广，而上有褒无广.刍，草也.薨，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱，刍薨字面意思为茅草屋顶”，如图，为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为（）

A、24 B、 $32 \sqrt{5}$ C、64 D、 $32 \sqrt{6}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $N$ 为线段 $A C$ 上靠近 $A$ 的三等分点，点 $P$ 在 $B N$ 上且 $\overset{⇀}{A P} = (m + \frac{2}{11}) \overset{⇀}{A B} + \frac{2}{11} \overset{⇀}{B C}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{5}{11}$

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10. 设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $M (\sqrt{5} ， 0)$ 的直线与抛物线相交于 $A$ ， $B$ 两点，与抛物线的准线相交于 $C$ ， $| B F | = 3$ ，则 $△ B C F$ 与 $△ A C F$ 的面积之比 $\frac{S_{△ B C F}}{S_{△ A C F}} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{6}{7}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c cos B = 2 a + b$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $S = \sqrt{3} c$ ，则 $a b$ 的最小值为（）

A、28 B、36 C、48 D、56

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12. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 29 x - 30$ ，实数 $m, n$ 满足 $f (m) = - 12$ ， $f (n) = 18$ ，则 $m + n =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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二、填空题

13. 设变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 1 ， \\ x + y - 4 \leq 0 ， \\ x - 3 y + 4 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则目标函数 $z = 2 x - y$ 的最小值为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} ， x \leq 1 \\ l n (x - 1) ， 1 < x \leq 2 ， \end{matrix}$ 若不等式 $f (x) \leq 5 - m x$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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15. 如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为．

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16. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过点 $F$ 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为 $M$ ，交另一条渐近线于 $N$ ，若 $7 \overset{⇀}{F M} = 3 \overset{⇀}{F N}$ ，则双曲线的渐近线方程为.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{5} = 25$ ， $S_{5} = 55$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $a_{n} b_{n} = \frac{1}{3 n - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下：

(1)、若甲单位数据的平均数是122，求 $x$ ；

(2)、现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为 $ζ_{1}$ ， $ζ_{2}$ ，令 $η = ζ_{1} + ζ_{2}$ ，求 $η$ 的分布列和期望.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = 6$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 2 \sqrt{6}$ ， $D ， E$ 分别为线段 $A B ， B C$ 上的点，且 $A D = 2 D B$ ， $C E = 2 E B$ ， $P D ⊥ A C$ .

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\frac{π}{4}$ ，求平面 $P A C$ 与平面 $P D E$ 所成的锐二面角.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与直线 $a x + 2 b y - \sqrt{3} a b = 0$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率；

(2)、如图，过 $F_{1}$ 作直线 $l$ 与椭圆分别交于两点 $P ， Q$ ，若 $△ P Q F_{2}$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ ，求 $\overset{⇀}{F_{1} P} \cdot \overset{⇀}{F_{2} Q}$ 的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x + \frac{1}{a x} - \frac{1}{a}$ ， $a \in R$ 且 $a \neq 0$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \in [\frac{1}{e} ， e]$ 时，试判断函数 $g (x) = (ln x - 1) e^{x} + x - m$ 的零点个数.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 过点 $(1, 0)$ ，倾斜角为 $α$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程是 $ρ = \frac{8 cos θ}{1 - {cos}^{2} θ}$ .

(1)、写出直线 $l$ 的参数方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若 $α = \frac{π}{4}$ ，设直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $△ A O B$ 的面积.

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23. 设函数 $f (x) = | x + 3 |$ ， $g (x) = | 2 x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) < g (x)$ ；

(2)、若 $2 f (x) + g (x) > a x + 4$ 对任意的实数 $x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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