甘肃省张掖市2017-2018学年高一上学期数学期末质量检测联考试卷

试卷更新日期：2018-04-27 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $M = {1 ， 4}$ ， $N = {1 ， 3 ， 5}$ ，则 $N \cap (C_{U} M) =$ （）

A、 ${1, 3}$ B、 ${1 ， 5}$ C、 ${4 ， 5}$ D、 ${3 ， 5}$

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2. 若直线 $x + m y - 2 = 0$ 的倾斜角为 $30 °$ ，则实数 $m$ 的值是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{6}{x} - {log}_{2} x$ ，在下列区间中，包含 $f (x)$ 零点的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(4 ， 8)$

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4. 函数 $y = \frac{x}{ln (x + 2)}$ 的定义域为（）

A、 $(- 2 ， + \infty)$ B、 $(- 2 ， - 1) \cup (- 1 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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5.
如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（　　）

A、3：1 B、2：1 C、1：1 D、1：2

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6. 用斜二侧画法画出的三角形是斜边为的 $\sqrt{2} a$ 等腰直角三角形，则原三角形的面积（）

A、 $\frac{1}{2} a^{2}$ B、 $a^{2}$ C、 $\sqrt{2} a^{2}$ D、 $2 \sqrt{2} a^{2}$

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7. 已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{- 1.1}$ ， $b = π^{0}$ ， $c = 3^{0.9}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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8. 过点 $A (1 ， 2)$ 且与原点距离最大的直线方程是（）

A、 $x + 2 y - 5 = 0$ B、 $2 x + y - 4 = 0$ C、 $x + 3 y - 7 = 0$ D、 $x + 3 y - 5 = 0$

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9. 已知 $l$ ， $m$ ， $n$ 为不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 不同的平面，则下列判断正确的是（）

A、若 $α \cap β = l$ ， $m ∥ α$ ， $m ∥ β$ ，则 $m ∥ l$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n ∥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $α \cap β = m$ ， $α \cap γ = n$ ， $l ⊥ m$ ， $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$

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10. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）

A、90cm² B、129cm² C、132cm² D、138cm²

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11. 关于 $x$ 的方程 ${(\frac{1}{3})}^{| x |} + a - 1 = 0$ 有解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 \leq a < 1$ B、 $- 1 < a \leq 0$ C、 $a \geq 1$ D、 $a > 0$

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12. 若函数 $\{\begin{matrix} a^{x} ， x \geq 1 \\ (4 - \frac{a}{2}) x + 2 ， x < 1 \end{matrix}$ ，且满足对任意的实数 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(4 ， 8)$ B、 $[4 ， 8)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， 8)$

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二、填空题

13. 直线 $2 x + 3 y + 1 = 0$ 与直线 $4 x + m y + 7 = 0$ 平行，则它们之间的距离为．

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14. ${log}_{3} 27 + lg \frac{1}{100} + ln \sqrt{e} + 2^{- 1 + {log}_{2} 3} =$ ．

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15. 函数 $y = {log}_{a} (2 x^{2} - 3 x + 1)$ ，当 $x = 3$ 时， $y < 0$ ，则该函数的单调递减区间是．

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16. 如图所示，正方形 $B C D E$ 的边长为 $a$ ，已知 $A B = \sqrt{3} B C$ ，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 边折起，折起后 $A$ 点在平面 $B C D E$ 上的射影为 $D$ 点，则翻折后的几何体中有如下描述：① $A B$ 与 $D E$ 所成角的正切值为 $\sqrt{3}$ ；② $A B ∥ C E$ ；③ $V_{B - A C E} = \frac{1}{6} a^{3}$ ；④平面 $A B C ⊥$ 平面 $A D C$ ，其中正确的命题序号为．

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | 0 < 2 x + a \leq 3}$ ， $B = {x | - \frac{1}{2} < x < 2}$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $(C_{R} B) \cup A$ ；

(2)、若 $A \cap B = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (4 ， 0)$ ， $B (8 ， 10)$ ， $C (0 ， 6)$ .

(1)、求过 $A$ 点垂直于 $B C$ 的直线方程；

(2)、求过 $B$ 点且与点 $A$ ， $C$ 距离相等的直线方程.

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19. 在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $E C ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $F$ 为 $B E$ 的中点.

(1)、求证： $D E ∥$ 平面 $A C F$ ；

(2)、求证： $B D ⊥ A E$ ；

(3)、若 $A B = \sqrt{2} C E = 4$ ，求三棱锥 $F - A B C$ 的体积.

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20. 已知函数 $g (x) = a x^{2} - 4 a x + b$ （ $a > 0$ ）在区间 $[0 ， 1]$ 上有最大值 $1$ 和最小值 $- 2$ .设 $f (x) = \frac{g (x)}{x}$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若不等式 $f (2^{x}) - k \cdot 2^{x} \geq 0$ 在 $x \in [- 1 ， 1]$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围.

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21. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ， $A B = 5$ ， $A A_{1} = 3$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $A C_{1} | |$ 平面 $C D B_{1}$ ；

(2)、求证： $A C ⊥ B C_{1}$ ；

(3)、求直线 $A B_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成的角的正切值.

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22. 已知指数函数 $y = g (x)$ 满足 $g (\frac{1}{2}) = \sqrt{2}$ ，定义域为实数集 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{1 - g (x)}{1 + g (x)}$ .

(1)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意的 $t \in R$ ，不等式 $f (2 t - 3 t^{2}) + f (t^{2} - k) \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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