黑龙江省穆棱市2016-2017学年高二下学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-04-19 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $s i n α = \frac{1}{3}, α \in (\frac{π}{2}, π)$ 则 $cos (- α) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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2. 函数 $y = {log}_{2} (x - x^{2})$ 的定义域为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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3. 已知角 $α$ 的顶点是坐标原点，始边是 $x$ 轴正半轴，终边过点 $(- 2, 1)$ ，则 $s i n 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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4. 下列函数中，是偶函数且在 $(0, + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $y = cos x$ B、 $y = - x^{2} + 1$ C、 $y = {log}_{2} | x |$ D、 $y = e^{x} - e^{- x}$

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5. 若 $a = {log}_{0.2} 2$ ， $b = {log}_{0.2} 3$ ， $c = 2^{0.2}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < c < b$

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6. 已知 $f' (x)$ 是 $f (x) = s i n x + a cos x$ 的导函数，且 $f' (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $1$

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7. 已知 $\frac{s i n α - cos α}{s i n α + 2 cos α} = 2$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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8. 已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，若 $f (0) = f (6) < f (7)$ ，则 $f (x)$ 在（）

A、 $(- \infty ， 0)$ 上是增函数 B、 $(0 ， + \infty)$ 上是增函数 C、 $(- \infty ， 3)$ 上是增函数 D、 $(3 ， + \infty)$ 上是增函数

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9. 函数 $f (x) = x + \frac{ln x}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，且导函数 $f' (x) = A ω cos (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = cos (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = s i n (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x) = \frac{1}{2} cos (2 x + \frac{π}{6})$ D、 $f (x) = \frac{1}{2} s i n (2 x - \frac{π}{6})$

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11. 函数f（x）= $\frac{x}{x^{2} + a}$ 的图象可能是（）

A、（1）（3） B、（1）（2）（4） C、（2）（3）（4） D、（1）（2）（3）（4）

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + a x$ .若 $g (x) = \frac{1}{e^{x}}$ ,对任意 $x_{1} \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，存在 $x_{2} \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，使 $f' (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{\sqrt{e}}{e} - 8]$ B、 $[\frac{\sqrt{e}}{e} - 8, + \infty)$ C、 $[\sqrt{2}, e)$ D、 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{e}{2}]$

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二、填空题

13. ${log}_{2} 15 - {log}_{2} 3 + {log}_{\frac{1}{2}} 5 =$ .

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14. 为得到函数 $y = s i n 2 x$ 的图象，要将函数 $y = s i n (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象向右平移至少个单位.

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15. 函数 $f (x) = ln x - x^{2}$ 的单调增区间为 .

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16. 设函数 $f (x)$ 对任意实数 $x$ 满足 $f (x) = - f (x + 2)$ ,且当 $0 \leq x \leq 2$ 时, $f (x) = x (2 - x)$ ,则 $f (- 2017) =$ .

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{\frac{6}{x + 1} - 1}$ 的定义域为集合 $A$ ，函数 $g (x) = lg (- x^{2} + 2 x + m)$ 的定义域为集合 $B$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap^{} (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap^{} B = {x | - 1 < x < 4}$ ，求实数 $m$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{9^{x} - 3^{x}}$ .

(1)、求 $f (x)$ 定义域和值域；

(2)、若 $f (x) > \sqrt{6}$ ，求实数 $x$ 的取值范围.

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19. 已知函数 $f (x) = {cos}^{2} x + s i n x cos x ， x \in R$ .

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、若 $s i n α = \frac{3}{5}$ ，且 $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，求 $f (\frac{α}{2} + \frac{π}{24})$ .

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20. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ .

(1)、求方程 $f (x) = \frac{5}{2}$ 的根；

(2)、求证： $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上是增函数；

(3)、若对于任意 $x \in [0, + \infty)$ ，不等式 $f (2 x) \geq f (x) - m$ 恒成立，求实数 $m$ 的最小值.

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21. 设函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - a^{2} x + 5 (a > 0)$ .

(1)、当函数 $f (x)$ 有两个零点时，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a \in [3 ， 6]$ ，当 $x \in [- 4 ， 4]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} - a x + 1$ ，且 $f' (1) = 4$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $0 \leq x \leq a + 1$ 时，证明： $\frac{e^{x}}{f (x) - x^{3}} > x$ .

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