福建省泉州市2017-2018年普通高中毕业班理数质量检查试卷

试卷更新日期：2018-04-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 x - 1 \geq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 1 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x \geq - 1}$ B、 ${x | x \geq 1}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq \frac{1}{2}}$ D、 ${x | \frac{1}{2} \leq x \leq 1}$

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2. 已知 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数， $(1 - i) z = 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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3. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $a_{2} - a_{1} = 2$ ， $S_{5} - S_{4} = 9$ ，则 $a_{50} =$ （）

A、 $99$ B、 $101$ C、 $2500$ D、 $9 \times 2^{45}$

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4. 已知点 $(2, 1)$ 在双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线上，则 $E$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $\sqrt{5}$

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5. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x \geq 1 ， \\ x + y - 3 \leq 0 ， \\ 2 x - y - 2 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = x - y$ 的最大值为（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $1$ D、 $3$

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6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{16}{3} π$ B、 $\frac{11}{2} π$ C、 $\frac{17}{3} π$ D、 $\frac{35}{6} π$

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7. 《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题.现执行该程序框图，输入的 $d$ 的值为33，则输出的 $i$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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8. 下列函数中，图象关于原点对称且单调递增的是（）

A、 $f (x) = sin x - x$ B、 $f (x) = ln (x - 1) - ln (x + 1)$ C、 $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ D、 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$

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9. 已知 $a = {0.5}^{- 1.5}$ ， $b = {log}_{6} 15$ ， $c = {log}_{5} 16$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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10. 已知 $P (\frac{1}{2} ， 2)$ 是函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 图象的一个最高点， $B ， C$ 是与 $P$ 相邻的两个最低点．若 $cos ∠ B P C = \frac{7}{25}$ ，则 $f (x)$ 的图象对称中心可以是（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(1 ， 0)$ C、 $(2 ， 0)$ D、 $(3 ， 0)$

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11. 已知直线 $l$ ： $m x - y + m = 0$ ，圆 $C$ ： ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 4$ .若对任意 $a \in [1, + \infty)$ ，存在 $l$ 被 $C$ 截得弦长为 $2$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{\sqrt{3}}{3}, + \infty)$ C、 $[- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}]$ D、 $(- \infty, - \sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + 2 x + a ， x < 0 ， \\ - e^{x} + a x - e^{2} ， x \geq 0 ， \end{matrix}$ 恰有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(e ， + \infty)$ C、 $(0 ， 1) \cup (e ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1) \cup (e^{2} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，角 $θ$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $cos (θ + \frac{π}{3}) =$ .

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14. 已知向量 $a, b$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ， $| a | = \sqrt{2}$ ， $| a + b | = \sqrt{5}$ ，则 $| b | =$ ．

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15. 设 $O$ 为坐标原点，点 $A, B$ 在直线 $y = x + m (m > 0)$ 上.若 $Δ O A B$ 是斜边长为2的等腰直角三角形，则实数 $m =$ .

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16. 如图，一张A4纸的长宽之比为 $\sqrt{2}$ ， $E ， F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点．现分别将△ $A B E$ ，△ $C D F$ 沿 $B E$ ， $D F$ 折起，且 $A$ ， $C$ 在平面 $B F D E$ 同侧，下列命题正确的是．（写出所有正确命题的序号）
① $A$ ， $G$ ， $H$ ， $C$ 四点共面；
②当平面 $A B E ∥$ 平面 $C D F$ 时， $A C ∥$ 平面 $B F D E$ ；
③当 $A$ ， $C$ 重合于点 $P$ 时，平面 $P D E ⊥$ 平面 $P B F$ ；
④当 $A$ ， $C$ 重合于点 $P$ 时，设平面 $P B E \cap$ 平面 $P D F$ $= l$ ，则 $l ∥$ 平面 $B F D E$ ．

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三、解答题

17. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (\frac{p}{4}, a) (a > 0)$ 在上， $| A F | = 3$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $A F$ 与 $C$ 交于另一点 $B$ ，求 $\frac{| A F |}{| B F |}$ 的值.

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18. 数列 ${a_{n}}$ 是公差大于0的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 是公比为2的等比数列， $a_{1} = 1$ ， $b_{1}$ 是 $a_{1}$ 与 $a_{2}$ 的等差中项， $b_{2}$ 是 $a_{2} - 1$ 与 $a_{5} - 1$ 的等比中项.
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $(a - b) sin A = c sin C - b sin B$ ．
（Ⅰ）求 $C$ ；
（Ⅱ）若 $Δ A B C$ 的周长为 $6$ ，求 $Δ A B C$ 的面积的最大值．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B C = C D = \frac{1}{2} A B$ ， $A P = P D$ ， $∠ A P D = ∠ A B C = ∠ B C D = 90^{\circ}$ ．
（Ⅰ）求证： $A P ⊥$ 平面 $P B D$ ；
（Ⅱ）求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成角的余弦值．

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21. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，上顶点为 $B$ . 点 $P$ 在 $E$ 上，点 $D (0, - 2 b)$ ， $Δ P B D$ 的最大面积等于 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ .
（Ⅰ）求 $E$ 的方程；
（Ⅱ）若直线 $D P$ 与 $E$ 交于另一点 $Q$ ，直线 $B P, B Q$ 分别与 $x$ 轴交于点 $M, N$ ，试判断 $| O M | \cdot | O N |$ 是否为定值.

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22. 函数 $f (x) = ln \frac{1 + x}{1 - x} - k x$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）当 $x \in (0 ， 1)$ 时，若 $e^{k x} - e^{- k x} < \frac{4 x}{1 - x^{2}}$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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