辽宁省大连2018届高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-04-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = \frac{{(1 + i)}^{2}}{1 - i}$ 的虚部是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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2. 设集合 $M = {x | 0 \leq x \leq 1}$ ， $N = {x | x^{2} \geq 1}$ ，则 $M \cup (C_{R} N) =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 1, 1]$ D、 $(0, 1)$

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3. 若 $cos α = - \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 为第二象限角， $tan α =$ （）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 平面向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $120 °$ ， $\overset{⇀}{a} = (2, 0)$ ， $| \overset{⇀}{b} | = 1$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + 2 \overset{⇀}{b} | =$ （）．

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = a n^{2} + b n$ ，若 $a < 0$ ，则（）

A、 $n a_{n} \leq n a_{1} \leq S_{n}$ B、 $S_{n} \leq n a_{1} \leq n a_{n}$ C、 $n a_{1} \leq S_{n} \leq n a_{n}$ D、 $n a_{n} \leq S_{n} \leq n a_{1}$

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7. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y - 2 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x - y$ 的最大值是（）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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8. 把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（）

A、12种 B、24种 C、36种 D、48种

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9. 已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6})$ ，现将 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 在 $[0, \frac{5 π}{24}]$ 的值域为（）

A、 $[- 1, 2]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[- 1, 0]$

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l_{1}$ 与过 $F_{2}$ 的直线 $l_{2}$ 交于点 $P$ ，设 $P$ 点的坐标 $(x_{°}, y_{°})$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、 $\frac{x_{°}^{2}}{3} + \frac{y_{°}^{2}}{2} > 1$ B、 $\frac{x_{°}^{2}}{3} + \frac{y_{°}^{2}}{2} < 1$ C、 $3 x_{°}^{2} + 2 y_{°}^{2} > 1$ D、 $\frac{x_{°}}{3} + \frac{y_{°}}{2} < 1$

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11. 某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高。若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）

A、甲、乙、丙 B、甲、丙、乙 C、乙、甲、丙 D、丙、甲、乙

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12. 已知函数 $f (x) = x ln x - \frac{1}{2} a x^{2} + (a - 1) x (a \in R)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ 满足 $5^{x - 1} 10^{3 x} = 8^{x}$ ，则 $x =$ ．

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14. 如图是一个算法的流程图，则输出的 $a$ 的值是．

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15. 已知双曲线的两个焦点为 $F_{1} (- \sqrt{10}, 0)$ 、 $F_{2} (\sqrt{10}, 0)$ ，渐近线为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，则双曲线的标准方程为．

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16. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{2 n}}{S_{n}} = 3$ ，则 $\frac{S_{3 n}}{S_{2 n}} =$ ．

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三、解答题

17. $Δ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ， $sin (A + \frac{π}{6}) = 2 cos A$ .

(1)、求 $A$ 的值；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ， $B C$ 边上的高为 $\frac{2}{3}$ ，求 $b + c$ 的值.

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18. 甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下：
甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133
乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146

(1)、画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论；

(2)、规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良好”的个数 $X$ 的分布列和数学期望.
(注：方差 $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - \bar{x})}^{2} + {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + {(x_{n} - \bar{x})}^{2}]$ ，其中 $\bar{x}$ 为 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n}$ 的平均数）

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19. 如图，在底面是菱形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A B C = 60 ° ， P A = A B = 2$ ，点 $E 、 F$ 分别为 $B C 、 P D$ 的中点，设直线 $P C$ 与平面 $A E F$ 交于点 $Q$ .

(1)、已知平面 $P A B \cap$ 平面 $P C D = l$ ，求证： $A B / / l$ .

(2)、求直线 $A Q$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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20. 已知直线 $y = 2 x + m (m \neq 0)$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于 $A 、 B$ 两点，

(1)、若 $O A ⊥ O B$ ，求 $m$ 的值；

(2)、以 $A B$ 为边作矩形 $A B C D$ ，若矩形 $A B C D$ 的外接圆圆心为 $(\frac{1}{2}, 2)$ ，求矩形 $A B C D$ 的面积.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a + 1) x + 2 a x ln x + 2 a + 1$ $(a \in R)$ .

(1)、 $a = - 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $(0, 2)$ 上的单调区间；

(2)、 $\forall x > 0$ 且 $x \neq 1$ ， $\frac{2 a x ln x}{x - 1} > 2 a + 1 - x$ 均恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 3 + t c o s α \\ y = \sqrt{3} + t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq α < π$ 且 $α \neq \frac{π}{2}$ ），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{3}$ .已知直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A 、 B$ 两点，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $a$ 的大小；

(2)、过 $A 、 B$ 分别作 $l$ 的垂线与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点，求 $| M N |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 a | (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) > 5 - | x - 1 |$ ；

(2)、若存在 $x_{°} \in R$ ，使 $f (x_{°}) > 5 + | x_{°} - 1 |$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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