安徽省皖江名校2018届高三12月份大联考理数试卷

试卷更新日期：2018-04-17 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}, N = {y | y = 2^{x}}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $(0, 2)$ C、 $[0, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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2. 著名数学家欧拉发规了复数的三角形式： $e^{i x} = cos x + i sin x$ （其中 $i$ 为虚数单位， $i^{2} = - 1$ ），根据这个公式可知， $e^{3 i}$ 表示的复数在复平面中所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. “ $k \geq 1$ ”是方程 $| e^{x} - k | = 1$ 有2个实数解得（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体的外接球的表面积是（）

A、 $9 π$ B、 $\frac{27 π}{2}$ C、 $27 π$ D、 $\frac{27 π}{4}$

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5. 已知 $Δ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，若 $a = c = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ 且 $∠ A = 75 °$ ，则 $b =$ （）

A、2 B、 $4 + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 - 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$

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6. 若某程序框图如图所示，运行后输出 $i$ 的值是6，则输入的整数 $k$ 可能的取值是（）

A、16，32 B、5，64 C、5，32 D、5，16

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7. 由直线 $y = 0 ， x = e ， y = 2 x$ 及曲线 $y = \frac{2}{x}$ 所围成的封闭图形的面积为（）

A、3 B、 $3 + 2 ln 2$ C、 $2 e^{2} - 3$ D、 $e$

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8. 下列四个命题：
$p_{1} : \exists x \in (0, + \infty), {(\frac{1}{2})}^{x} < {(\frac{1}{3})}^{x}$ ； $p_{2} : \exists x \in (0, 1), {log}_{\frac{1}{2}} x > {log}_{\frac{1}{3}} x$ ； $p_{3} : \forall x \in (0, + \infty), {(\frac{1}{2})}^{x} > {log}_{\frac{1}{2}} x$ ； $p_{4} : \forall x \in (0, \frac{1}{3}), {(\frac{1}{2})}^{x} < {log}_{\frac{1}{3}} x$ .
其中的真命题是（）

A、 $p_{1}$ ， $p_{3}$ B、 $p_{1}$ ， $p_{4}$ C、 $p_{2}$ ， $p_{4}$ D、 $p_{2}$ ， $p_{3}$

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9. 若函数 $y = 2 sin ω x (ω > 0)$ 的图象在区间 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ 上只有一个极值点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $1 < ω \leq \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2} < ω \leq 3$ C、 $3 \leq ω < 4$ D、 $\frac{3}{2} \leq ω < \frac{9}{2}$

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10. $M$ 在不等式组 ${\begin{matrix} x - 2 \leq 0 \\ 3 x + 4 y \geq 4 \\ y - 3 \leq 0 \end{matrix}$ 所表示的平面区域上，点 $N$ 在曲线 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 3 = 0$ 上，那么 $| M N |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{10}}{3} - 1$ D、1

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11. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{8} - 2 S_{4} = 5$ ，则 $a_{9} + a_{10} + a_{11} + a_{12}$ 的最小值为（）

A、10 B、15 C、20 D、25

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12. 设函数 $f (x)$ 在 $R$ 上存在导函数 $f^{'} (x)$ ，对任意的实数 $x$ 都有 $f (x) = 4 x^{2} - f (- x)$ ，当 $x \in (- \infty ， 0)$ 时， $f^{'} (x) + \frac{1}{2} < 4 x$ .若 $f (m + 1) \leq f (- m) + 3 m + \frac{3}{2}$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{3}{2} ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， + \infty)$ D、 $[- 2 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 如图甲所示，在直角 $Δ A B C$ 中， $A C ⊥ A B ， A D ⊥ B C$ ， $D$ 是垂足，则有 $A B^{2} = B D \cdot B C$ ，该结论称为射影定理.如图乙所示，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A O ⊥$ 平面 $B C D$ ， $O$ 为垂足，且 $O$ 在 $Δ B C D$ 内，类比直角三角形中的射影定理，则有．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} {log}_{a} x ， x > 0 \\ | x + 3 | ， - 4 \leq x < 0 \end{matrix}$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，若函数 $f (x)$ 的图象上有且只有一对点关于 $y$ 轴对称，则 $a$ 的取值范围是．

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15. 已知点 $O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆圆心，且 $A B = 3 ， A C = 4$ ．若存在非零实数 $x ， y$ ，使得 $\vec{A O} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，且 $x + 2 y = 1$ ，则 $cos ∠ B A C =$ .

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项的和且满足 $3 a_{n} = 2 S_{n} + n (n \in N^{*})$ ，则 $S_{n} =$ ．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中.设内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，向量 $\overset{⇀}{m} = (cos A ， sin A)$ ，向量 $\overset{⇀}{n} = (\sqrt{2} - sin A ， cos A)$ ， $| \overset{⇀}{m} + \overset{⇀}{n} | = 2$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $b = 4 \sqrt{2}$ ，且 $c = \sqrt{2} a$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 的各项均为正整数，且 $a_{1} = 3, b_{1} = 1$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是公比为16的等比数列， $b_{2} S_{2} = 32$ .

(1)、求 $a_{n}, b_{n}$ ；

(2)、求证 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < \frac{3}{4}$ .

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19. 如图 $A A^{'} ， B B^{'} ， C C^{'}$ 是圆柱体 $O - O^{'}$ 的母线， $A B$ 是底面圆的直径， $M ， N$ 分别是 $A A^{'} ， B C^{'}$ 的中点， $B C = 1 ， A B = A A^{'} = 2$ .

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求点 $C^{'}$ 到平面 $B C M$ 的距离；

(3)、求二面角 $B - C^{'} M - C$ 的大小.

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20. 已知 $f (x) = x ln x ， g (x) = x^{2} - a x + 6$ （其中 $a \in R$ ）.

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[t ， t + 1] (t > 0)$ 上的最小值；

(2)、对一切 $x \in (0 ， + \infty) ， f (x) + g (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是直角梯形，且 $A B / / C D ， A B ⊥ A D$ ， $C D = P D = A D = \frac{1}{2} A B$ ， $E$ 是 $P B$ 中点.

(1)、求证： $C E ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $C E = \sqrt{3} ， A B = 4$ ，求直线 $C E$ 与平面 $P D C$ 所成角的大小.

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22. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x}$ （其中 $a ， b \in R$ ）在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为1.

(1)、用 $a$ 表示 $b$ ；

(2)、设 $g (x) = f (x) - ln x$ ，若 $g (x) \geq 1$ 对定义域内的 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的前提下，如果 $g (x_{1}) = g (x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} \geq 2$ .

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