备考2018年中考数学一轮基础复习：专题二十七 探索规律问题

$\sqrt{2}$ ，2， $\sqrt{6}$ ，2 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{10}$ ；

2 $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{14}$ ，4，3 $\sqrt{2}$ ，2 $\sqrt{5}$ ；

…

若2的位置记为（1，2），2 $\sqrt{3}$ 的位置记为（2，1），则 $\sqrt{38}$ 这个数的位置记为（   ）

我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧 $\widehat{P_1{P}_2}$ ， $\widehat{P_2{P}_3}$ ， $\widehat{P_3{P}_4}$ ，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结P₁P₂ ， P₂P₃ ， P₃P₄ ， …得到螺旋折线（如图），已知点P₁（0，1），P₂（﹣1，0），P₃（0，﹣1），则该折线上的点P₉的坐标为（   ）

如图，过点A₀（2，0）作直线l：y= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ x的垂线，垂足为点A₁ ， 过点A₁作A₁A₂⊥x轴，垂足为点A₂ ， 过点A₂作A₂A₃⊥l，垂足为点A₃ ， …，这样依次下去，得到一组线段：A₀A₁ ， A₁A₂ ， A₂A₃ ， …，则线段A₂₀₁₆A₂₁₀₇的长为（   ）

如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD=3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（   ）

如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A₀点出发，沿着射线A₀O方向运动到⊙O上的点A₁处，再向左沿着与射线A₁O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A₂处；接着又从A₂点出发，沿着射线A₂O方向运动到⊙O上的点A₃处，再向左沿着与射线A₃O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A₄处；…按此规律运动到点A₂₀₁₇处，则点A₂₀₁₇与点A₀间的距离是（   ）

观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（   ）

根据“杨辉三角”请计算（a+b）²⁰的展开式中第三项的系数为（   ）

如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a₁ ， 第2幅图形中“●”的个数为a₂ ， 第3幅图形中“●”的个数为a₃ ， …，以此类推，则 $\frac{1}{a_1}$ + $\frac{1}{a_2}$ + $\frac{1}{a_3}$ +…+ $\frac{1}{a_{19}}$ 的值为（   ）

填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为（   ）

如图1，分别将AC，BC边2等分，D₁ ， E₁是其分点，连接AE₁ ， BD₁交于点F₁ ， 得到四边形CD₁F₁E₁ ， 其面积S₁= $\frac{1}{3}$ ．

如图2，分别将AC，BC边3等分，D₁ ， D₂ ， E₁ ， E₂是其分点，连接AE₂ ， BD₂交于点F₂ ， 得到四边形CD₂F₂E₂ ， 其面积S₂= $\frac{1}{6}$ ；

如图3，分别将AC，BC边4等分，D₁ ， D₂ ， D₃ ， E₁ ， E₂ ， E₃是其分点，连接AE₃ ， BD₃交于点F₃ ， 得到四边形CD₃F₃E₃ ， 其面积S₃= $\frac{1}{10}$ ；

…

按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n+1）等分，…，得到四边形CD_nF_nE_n ， 其面积S_n= ．

正方形A₁B₁C₁O，A₂B₂C₂C₁ ， A₃B₃C₃C₂…按如图所示放置，点A₁、A₂、A₃…在直线y=x+1上，点C₁、C₂、C₃…在x轴上，则A_n的坐标是 ．

问题的转化：由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题：

n条直线最多可以把平面分割成多少个部分？

如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分；

如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；

如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；

平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…

第一个等式： $a_1=\frac{2}{1+3\times 2+2\times 2^2}=\frac{1}{2+1}-\frac{1}{2^2+1}$

第二个等式： $a_2=\frac{2^2}{1+3\times 2^2+2\times {(2^2)}^2}=\frac{1}{2^2+1}-\frac{1}{2^3+1}$

第三个等式： $a_3=\frac{2^3}{1+3\times 2^3+2\times {(2^3)}^2}=\frac{1}{2^3+1}-\frac{1}{2^4+1}$

第四个等式： $a_4=\frac{2^4}{1+3\times 2^4+2\times {(2^4)}^2}=\frac{1}{2^4+1}-\frac{1}{2^5+1}$

按上述规律，回答下列问题：

第一个等式： $\frac{2^2-1^2-1}{2}$ =1，第二个等式： $\frac{3^2-2^2-1}{2}$ =2，第三个等式： $\frac{4^2-3^2-1}{2}$ =3…

请用上述等式反映出的规律解决下列问题：

问题提出：用水平线和竖直线将平面分成若干个面积为1的小长方形格子，小长方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x，多边形内部的格点数为n，S与x，n之间是否存在一定的数量关系呢？