2015-2016学年山东省青岛市高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-01 类型：期末考试

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一、选择题

1. 设集合 $A = {x | \frac{1}{x} > 1} ， B = {x | y = \sqrt{2^{x} - 16}}$ ，则A∩（∁_RB）等于（）

A、（﹣∞，1） B、（0，4） C、（0，1） D、（1，4）

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2. 若复数 $\frac{a - 3 i}{1 + i}$ （a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）

A、3 B、﹣3 C、0 D、 $\frac{3}{2}$

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3. 平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $\vec{a}$ =（2，0），| $\vec{b}$ |=1，则| $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ |=（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、0 C、 $\sqrt{6}$ D、2

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4. 已知圆x²+y²﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，则实数a的取值情况为（）

A、（﹣∞，5） B、﹣4 C、﹣4或20 D、﹣11

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5. 阅读如图的算法框图，输出的结果S的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、0 C、 $\sqrt{3}$ D、- $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 设a＞0，b＞0，若2是2^a与2^b的等比中项，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一个实轴端点与恰与抛物线y²=﹣4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{1} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b²+c²=a²+bc， $\vec{A C} \cdot \vec{A B}$ =4，则△ABC的面积等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、4 $\sqrt{3}$ C、4 D、2 $\sqrt{3}$

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9. 不等式|x+3|+|x﹣1|＜a²﹣3a有解的实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B、（﹣1，4） C、（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） D、（﹣4，1）

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10. 若a，b在区间 $[0 ， \sqrt{3}]$ 上取值，则函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + b x^{2} + \frac{1}{4} a x$ 在R上有两个相异极值点的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、1- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

11. 甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．

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12. 若 $a = {(\frac{3}{5})}^{4} ， b = {(\frac{3}{5})}^{3} ， c = \log_{3} \frac{3}{5}$ ，则a，b，c三者的大小关系为．（用＜表示）．

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13. 设 $n = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 4 \sin x d x$ ，则二项式 ${(x - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式的常数项是．

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14. 双曲线kx²﹣y²=1的一条渐近线与直线2x﹣y+3=0垂直，则双曲线的离心率是．

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15. 已知O是坐标原点，点A的坐标为（2，1），若点B（x，y）为平面区域 ${\begin{matrix} x + y \leq 4 \\ x \geq 1 \\ y \geq x \end{matrix}$ 上的一个动点，则z= $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ 的最大值是．

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三、解答题

16. 已知函数 $f (x) = (\sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x) \cdot \cos ω x + \frac{1}{2}$ （其中ω＞0），若f（x）的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 $\frac{π}{4}$ ．

(1)、求y=f（x）的单调递增区间；

(2)、在△ABC中角A、B、C的对边分别是a，b，c满足（2b﹣a）cosC=c•cosA，则f（B）恰是f（x）的最大值，试判断△ABC的形状．

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17. 某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，．经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为 $\frac{8}{9}$ ，第二道工序检查合格的概率为 $\frac{9}{10}$ ，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器．

(1)、求本月恰有两台仪器完全合格的概率；

(2)、若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望．

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18. 设数列{a_n}的前n项和为 $S_{n} \cdot a_{1} = 1 ， S_{n} = n a_{n} - 3 n (n - 1) ， (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列{a_n}的通项公式a_n；

(2)、是否存在正整数n，使得 $\frac{S_{1}}{1} + \frac{S_{2}}{2} + \frac{S_{3}}{3} + \dots - \frac{3}{2} {(n - 1)}^{2} = 2016$ ？若存在，求出n值；若不存在，说明理由．

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19. 四棱锥P﹣ABCD，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0）， $A D ∥ B C ， P D = \sqrt{3} a$ ，∠DAB=θ

(1)、如图1，若θ=60°，AB=2a，Q为PB的中点，求证：DQ⊥PC；

(2)、如图2，若θ=90°，AB=a，求平面PAD与平面PBC所成二面角的大小．
（若非特殊角，求出所成角余弦即可）

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20. 已知A（x₀ ， 0），B（0，y₀）两点分别在x轴和y轴上运动，且|AB|=1，若动点P（x，y）满足 $\vec{O P} = 2 \vec{O A} + \sqrt{3} \vec{O B}$ ．

(1)、求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；

(2)、一条纵截距为2的直线l₁与曲线C交于P，Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程；

(3)、直线l₂：x=ty+1与曲线C交于A、B两点，E（1，0），试问：当t变化时，是否存在一直线l₂ ，使△ABE的面积为 $2 \sqrt{3}$ ？若存在，求出直线l₂的方程；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数f（x）=alnx+x²+bx（a为实常数）．

(1)、若a=﹣2，b=﹣3，求f（x）的单调区间；

(2)、若b=0，且a＞﹣2e² ，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；

(3)、设b=0，若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

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