2015-2016学年河北省承德市联校高三上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-12-01 类型：期末考试

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²+4x＞0}，B={x|x＞m}，若A∩B={x|x＞0}，则实数m的值可以是（）

A、1 B、2 C、﹣1 D、﹣5

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2. 已知复数z= $\frac{i - 5}{1 + i}$ （i为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、﹣2 B、﹣3 C、3 D、4

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3. 已知α∈（﹣π，﹣ $\frac{π}{4}$ ），且sinα=﹣ $\frac{1}{3}$ ，则cosα等于（）

A、﹣ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、± $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{k} + \frac{y^{2}}{6 + k} = 1$ 的实轴长为4，则双曲线的渐近线方程为（）

A、y= $\pm \frac{1}{2} x$ B、y=±x C、y=±2x D、y=± $\sqrt{2} x$

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5. 已知变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 1 \leq 0 \\ 3 x - y + 1 \geq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \end{matrix}$ 则z=2x+y的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 把5名新同学分配到高一年级的A，B，C三个班，每班至少分配一人，若A班要分配2人，则不同的分配方法的种数为（）

A、90 B、80 C、60 D、30

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7. 如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）

A、﹣1 B、0 C、8 D、9

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8. 高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{8}$

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9. 将函数f（x）=sin（2x+φ）+ $\sqrt{3}$ cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后，得到函数的图象关于点（ $\frac{π}{2}$ ，0）对称，则函数g（x）=cos（x+φ）在[﹣ $\frac{π}{2}$ ， $\frac{π}{6}$ ]上的最小值是（）

A、﹣ $\frac{1}{2}$ B、﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 设函数f（x）=x²﹣log₂（2x+2）．若0＜b＜1，则f（b）的值满足（）

A、f（b）＞f（﹣ $\frac{3}{4}$ ） B、f（b）＞0 C、f（b）＞f（2） D、f（b）＜f（2）

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11. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，过F₁且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF₂与椭圆的另一个交点为C，若△ABF₂的面积是△BCF₂的面积的2倍，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{10}$

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12. 已知函数f（x）=e^x^﹣¹﹣ax（a＞1）在[0，a]上的最小值为f（x₀），且x₀＜2，则实数a的取值范围是（）

A、（1，2） B、（1，e） C、（2，e） D、（ $\frac{e}{2}$ ，+∞）

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二、填空题

13. 若x（1﹣2x）⁴=a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵ ，则a₂+a₃+a₄+a₅= ．

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14. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足，且| $\vec{a}$ |=2| $\vec{b}$ |=| $\vec{a} + \vec{b}$ |．则向量﹣ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值为．

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15. 在三棱锥A₁﹣ABC中，AA₁⊥底面ABC，BC⊥A₁B，AA₁=AC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．

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16. 在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos $\frac{c}{2}$ = $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，且acosB+bcosA=2，则△ABC的面积的最大值为．

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三、解答题

17. 已知公比小于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁= $\frac{2}{3}$ ，且13a₂=3S₃（n∈N^*）．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、设b_n=log₃（1﹣S_n₊₁），若 $\frac{1}{b_{1} b_{2}}$ + $\frac{1}{b_{2} b_{3}}$ +…+ $\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ = $\frac{25}{51}$ ，求n．

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18. 某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
[70，76）
[76，82）
[82，88）
[88，94）
[94，100]
产品A
8
12
40
32
8
产品B
7
18
40
29
6

(1)、试分别估计产品A，产品B为正品的概率；

(2)、生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．

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19. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP．

(1)、证明：AC⊥DE；

(2)、若PC= $\sqrt{2}$ BC，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．

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20. 已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，直线2x﹣y+2=0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．

(1)、D是抛物线C上的动点，点E（﹣1，3），若直线AB过焦点F，求|DF|+|DE|的最小值；

(2)、是否存在实数p，使|2 $\vec{Q A}$ + $\vec{Q B}$ |=|2 $\vec{Q A}$ ﹣ $\vec{Q B}$ |？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数φ（x）= $\frac{a}{x + 1}$ ，a＞0

(1)、若函数f（x）=lnx+φ（x），在（1，2）上只有一个极值点，求a的取值范围；

(2)、若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁ ， x₂∈（0，2]，且x₁≠x₂ ，都有 $\frac{g (x_{1}) - g (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ＜﹣1，求a的取值范围．

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22. 如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．

(1)、求证：AB•DE=BC•CE；

(2)、若AB=8，BC=4，求线段AE的长．

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23. 已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是 ${\begin{matrix} x = - \frac{3}{5} t + 2 \\ y = \frac{4}{5} t \end{matrix}$ （t为参数）

(1)、若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；

(2)、直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的 $\sqrt{3}$ 倍，求a的值．

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24. 已知实数a、b满足：a＞0，b＞0．

(1)、若x∈R，求证：|x+a|+|x﹣b|≥2 $\sqrt{a b}$ ．

(2)、若a+b=1，求证： $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{2}{a b}$ ≥12．

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测试指标	[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
产品A	8	12	40	32	8
产品B	7	18	40	29	6