广东省五校协作体2017-2018学年高三理数第一次联考试卷试卷（1月份）

试卷更新日期：2018-04-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集U=N*，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）

A、{2} B、{4，6} C、{1，3，5} D、{2，4，6}

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $(i - 1) z = i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 已知 $M$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点， $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点，若 $| M F | = p$ ， $k$ 是抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴的交点，则 $∠ M K F =$ （）

A、45° B、30° C、15° D、60°

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4. 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上任选两个数 $x$ 和 $y$ ，则 $y < sin x$ 的概率为（）

A、 $\frac{2}{π^{2}}$ B、 $1 - \frac{4}{π^{2}}$ C、 $\frac{4}{π^{2}}$ D、 $1 - \frac{2}{π^{2}}$

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5. 已知 $f (x) = sin x + \sqrt{3} cos x (x \in R)$ ，函数 $y = f (x + φ)$ 的图象关于直线 $x = 0$ 对称，则 $φ$ 的值可以是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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6. 一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）

A、3cm B、4cm C、5cm D、6cm

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7. 执行如图所示的程序框图，若输入 $x = 20$ ，则输出的 $y$ 的值为（）

A、 $2$ B、 $- 1$ C、 $- \frac{13}{4}$ D、 $- \frac{5}{2}$

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8. 若平面 $α$ 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面 $α$ 平行的棱有（）

A、 $0$ 条 B、 $1$ 条 C、 $2$ 条 D、 $1$ 条或 $2$ 条

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9. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} y \geq x + 2 \\ x + y \leq 6 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 | x - 2 | + | y |$ 的最小值是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过其左焦点 $F$ 作 $x$ 轴的垂线，交双曲线于 $A, B$ 两点，若双曲线的右顶点在以 $A B$ 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{3}{2})$ B、 $(1, 2)$ C、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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11. 关于曲线 $C：$ $x^{2} + y^{4} = 1$ 给出下列四个命题：
⑴曲线 $C$ 有两条对称轴，一个对称中心
⑵曲线 $C$ 上的点到原点距离的最小值为1
⑶曲线 $C$ 的长度 $l$ 满足 $l > 4 \sqrt{2}$
⑷曲线 $C$ 所围成图形的面积 $s$ 满足 $π < s < 4$
上述命题正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = \frac{1}{2} f (x)$ ，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{2} - 2 x, 0 \leq x < 1 \\ - 2^{1 - | x - \frac{3}{2} |}, 1 \leq x < 2 \end{matrix}$ ，函数 $g (x) = x^{2} + 3 x + m$ ．若对任意 $s \in [- 4, - 2)$ ，存在 $t \in [- 4, - 2)$ ，不等式 $f (s) - g (t) \geq 0$ 成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 12]$ B、 $(- \infty, 14]$ C、 $(- \infty, - 8]$ D、 $(- \infty, \frac{31}{2}]$

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二、填空题

13. 在二项式 ${(x - \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含 $x^{2}$ 项的系数是．

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14. 已知 $\vec{a} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}), | \vec{b} | = 1, | \vec{a} + 2 \vec{b} | = 2$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为．

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15. 两所学校分别有2名、3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则同校学生排在一起的概率是.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1}$ 为正整数， $a_{n + 1} = {\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 为偶数 \\ 3 a_{n} + 1, a_{n} 为奇数 \end{matrix}$ ，如果 $a_{1} = 1$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2018} =$ ．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中， $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\sqrt{2} a sin A = (\sqrt{2} b - c) sin B + (\sqrt{2} c - b) sin C$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{10}$ ， $cos B = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $D$ 为 $A C$ 的中点，求 $B D$ 的长．

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18. 如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $Δ A B D$ 是正三角形， $Δ B C D$ 是等腰三角形， $∠ B C D = 120^{\circ}$ ， $E C ⊥ B D$ ．

(1)、求证： $B E = D E$ ；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $A E = 3 \sqrt{2}$ ，平面 $E B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，直线 $A E$ 与平面 $A B D$ 所成的角为45°，求二面角 $B - A E - D$ 的余弦值．

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19. 据某市地产数据研究院的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} = 25 ， \sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 5.36 ， \sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 0.64$ ，（说明：以上数据 $x_{i} ， y_{i}$ 为3月至7月的数据）
回归方程 $\overset{\land}{y} = \overset{\land}{b} x + \overset{\land}{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \bar{x}$

(1)、地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价 $y$ （万元/平方米）与月份 $x$ 之间具有较强的线性相关关系，试建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程（系数精确到 0.01），政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价；

(2)、地产数据研究院在2016年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X，求X的分布列和数学期望．

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20. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 与抛物线 $y^{2} = - 4 x$ 的焦点重合，椭圆 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $M (m, 0) (m > \frac{3}{4})$ 作斜率不为0的直线 $l$ ，交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，点 $P (\frac{5}{4}, 0)$ ，且 $\overset{⇀}{P A} • \overset{⇀}{P B}$ 为定值．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、求 $Δ O A B$ 面积的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = a x + ln x$ ，其中 $a$ 为常数，设 $e$ 为自然对数的底数．

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0 ， e]$ 上的最大值为 $- 3$ ，求 $a$ 的值；

(3)、设 $g (x) = x f (x)$ ，若 $a > 0$ ，对于任意的两个正实数 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} \neq x_{2})$ ，证明： $2 g (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < g (x_{1}) + g (x_{2})$ ．

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x o y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），在以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆 $C$ 的方程为 $ρ = 6 sin θ$ ．

(1)、写出直线 $l$ 的普通方程和圆 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P (3 ， 4)$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | + | 2 x + 1 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) > 5$ ；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{f (x) - 4} = a$ 的解集为空集，求实数 $a$ 的取值范围．

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