福建省三明市A片区高中联盟校2017-2018学年高三上学期文数阶段性期末考试试卷

试卷更新日期：2018-04-10 类型：期末考试

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 3 x \leq 0}$ ， $B = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 3]$ B、 $[0, 1)$ C、 $[1, 3]$ D、 $(1, 3]$

查看试题解析
2. 设 $(1 + 2 i) (a + i)$ 的实部与虚部相等，其中 $a$ 为实数，则 $a =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $3$

查看试题解析
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $10 π$ D、 $12 π$

查看试题解析
4. 若 $α$ 为第一象限角，且 $cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin (2 α + \frac{π}{3})$ 的值为（）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{24}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $- \frac{12}{25}$

查看试题解析
5. 数学的美无处不在，如图所示，这是某种品牌轿车的标志．在此标志中左右对称的两条黑色曲线可以近似地看成双曲线的部分图形．若左边等腰三角形的两腰所在直线是双曲线的渐近线，且等腰三角形的底约为4个单位，高约为3个单位，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析
6. 函数 $f (x) = sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则该函数的图象可由函数 $y = sin 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到

查看试题解析
7. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $S$ 为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $2$ D、 $- \frac{2}{3}$

查看试题解析
8. 如图，在下列四个正方体中， $A$ ， $B$ 为正方体的两个顶点， $M$ ， $N$ ， $Q$ 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 $A B$ 与平面 $M N Q$ 不垂直的是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
9. 函数 $f (x) = sin x \cdot ln | x |$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
10. 设 $x$ ， $y$ 满足线性约束条件 ${\begin{matrix} x + 3 y \leq 3 ， \\ x - y \geq 1 ， \\ y \geq 0 ， \end{matrix}$ 若目标函数 $z = - x + a y$ （ $a > 0$ ）取得最大值的最优解有无数个，则 $z = - x + a y$ 的最小值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

查看试题解析
11. 如图，直线 $x = m$ 与抛物线 $x^{2} = 4 y$ 交于点 $A$ ，与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 的实线部分（即在抛物线内的圆弧）交于点 $B$ ， $F$ 为抛物线的焦点，则 $Δ A B F$ 的周长的取值范围是（）

A、 $(4 ， 6)$ B、 $(4 ， 6]$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(2 ， 4]$

查看试题解析
12. 定义运算 $a \otimes b = {\begin{matrix} b ， a < b ， \\ a ， a \geq b ， \end{matrix}$ 设函数 $f (x) = ln x \otimes {log}_{\frac{1}{e}} x$ ，若函数 $g (x) = f (x) - a x$ 在区间 $(0 ， 4)$ 上有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(\frac{ln 2}{2} ， e)$ C、 $(0 ， \frac{ln 2}{2})$ D、 $(\frac{ln 2}{2} ， \frac{1}{e})$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (x, 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (- 2, 4)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | =$ ．

查看试题解析
14. 某校高一年级10个班级参加国庆歌咏比赛的得分（单位：分）如茎叶图所示，若这10个班级的得分的平均数是90，则 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值为．

查看试题解析
15. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为 $R$ 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以 $R$ 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是．

查看试题解析
16. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 是锐角 $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边， $b = \sqrt{3}$ ，且满足 $\frac{2 c - a}{b} cos B = cos A$ ，则 $a + c$ 的取值范围是．

查看试题解析

三、解答题

17. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，且 $d > 0$ ，已知 $a_{1} = 2$ ， $a_{3} = a_{2}^{2} - 10$ ，设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 4$ ， $a_{n} + 2 = {log}_{2} b_{n + 1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

查看试题解析
18. 如图，在多边形 $P A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = A B = A D = 2 B C$ ， $∠ P A D = 60 °$ ， $M$ 是线段 $P D$ 上的一点，且 $D M = 2 M P$ ，若将 $Δ P A D$ 沿 $A D$ 折起，得到几何体 $P - A B C D$ .

(1)、试问：直线 $P B$ 与平面 $A C M$ 是否有公共点？并说明理由；

(2)、若 $B C = 1$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求三棱锥 $P - A C M$ 的体积．

查看试题解析
19. 某网站调查2016年大学毕业生就业状况，其中一项数据显示“2016年就业率最高学科”为管理学，高达 $93.6 %$ （数据来源于网络，仅供参考）．为了解高三学生对“管理学”的兴趣程度，某校学生社团在高校高三文科班进行了问卷调查，问卷共100道选择题，每题1分，总分100分，社团随机抽取了100名学生的问卷成绩（单位：分）进行统计，得到频率分布表如下：
组号
分组
男生
女生
频数
频率
第一组
$[0 ， 20)$
3
2
5
0.05
第二组
$[20 ， 40)$
17
$x$
$y$
$z$
第三组
$[40 ， 60)$
20
10
30
0.3
第四组
$[60 ， 80)$
6
18
24
0.24
第五组
$[80 ， 100]$
4
12
16
0.16
合计
50
50
100
1
参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考临界值：
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

(1)、求频率分布表中 $x$ ， $y$ ， $z$ 的值；

(2)、若将得分不低于60分的称为“管理学意向”学生，将低于60分的称为“非管理学意向”学生，根据条件完成下面 $2 \times 2$ 列联表，并据此判断是否有 $99.9 %$ 的把握认为是否为“管理学意向”与性别有关？

非管理学意向
管理学意向
合计
男生
$a =$
$c =$

女生
$b =$
$d =$

合计

(3)、心理咨询师认为得分低于20分的学生可能“选择困难”，要从“选择困难”的5名学生中随机抽取2名学生进行心理辅导，求恰好有1名男生，1名女生被选中的概率．

查看试题解析
20. 已知 $A$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左顶点，左焦点 $F_{1}$ 是线段 $O A$ 的中点，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线恰好过点 $F_{1}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、如图所示，过点 $A$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l_{1}$ 交椭圆于点 $M$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，若 $P$ 为线段 $A M$ 的中点，过 $N$ 作与直线 $O P$ 垂直的直线 $l_{2}$ ，证明对于任意的 $k$ （ $k \neq 0$ ），直线 $l_{2}$ 过定点，并求出此定点坐标．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x + b}{e^{x}}$ （ $e$ 是自然对数的底数）， $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程是 $y = x + \frac{1}{e} - 2$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ， $2 | ln x - 1 | \geq f (x) + c$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围．

查看试题解析
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中， $A (0, - 1)$ ， $B (- \sqrt{3}, 0)$ ，以 $A B$ 为直径的圆记为圆 $C$ ，圆 $C$ 过原点 $O$ 的切线记为 $l$ ，若以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求圆 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若过点 $P (0, 1)$ ，且与直线 $l$ 垂直的直线 $l'$ 与圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ ．

查看试题解析
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | x + 3 | - | m - x |$ （ $m \in R$ ）．

(1)、当 $m = 2$ 时，求不等式 $f (x) \geq 3$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \leq 6$ 对任意实数 $x$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

查看试题解析

组号	分组	男生	女生	频数	频率
第一组	$[0 ， 20)$	3	2	5	0.05
第二组	$[20 ， 40)$	17	$x$	$y$	$z$
第三组	$[40 ， 60)$	20	10	30	0.3
第四组	$[60 ， 80)$	6	18	24	0.24
第五组	$[80 ， 100]$	4	12	16	0.16
合计		50	50	100	1

	非管理学意向	管理学意向	合计
男生	$a =$	$c =$
女生	$b =$	$d =$
合计

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828