重庆市2017-2018学年高三上学期理数期末考试试卷（康德卷）

试卷更新日期：2018-04-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3, a_{6} = 13$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、2 C、10 D、13

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2. 已知集合 $A = {x \in R | 2 < x < 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、{1，2} B、{5，6} C、{1，2，5，6} D、{3，4，5，6}

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3. 命题 $P :$ “若 $x > 1$ ，则 $x^{2} > 1$ ”，则命题 $P$ 以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 已知两非零复数 $z_{1}, z_{2}$ ，若 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则一定成立的是（）

A、 $z_{1} {\bar{z}}_{2} \in R$ B、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} \in R$ C、 $z_{1} + z_{2} \in R$ D、 $\frac{z_{1}}{\bar{z_{2}}} \in R$

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5. 根据如下样本数据：
$x$
3
5
7
9
$y$
6
$a$
3
2
得到回归方程 $\hat{y} = - 1.4 x + 12.4$ ，则（）

A、 $a = 5$ B、变量 $x$ 与 $y$ 线性正相关 C、当 $x$ ＝11时，可以确定 $y$ ＝3 D、变量 $x$ 与 $y$ 之间是函数关系

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6. 执行如下图所示的程序框图，若输入的 $k$ 值为9，则输出的结果是（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、0 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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7. 函数 $f (x) = \frac{x cos x}{x^{2} - 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借阅四大名著（每种名著均有若干本），已知每人均只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为（）

A、72 B、60 C、54 D、48

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9. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。其意思为“今有持金出五关，第1关收税金为持金的 $\frac{1}{2}$ ，第2关收税金为剩余金的 $\frac{1}{3}$ ，第3关收税金为剩余金的 $\frac{1}{4}$ ，第4关收税金为剩余金的 $\frac{1}{5}$ ，第5关收税金为剩余金的 $\frac{1}{6}$ ，5关所税金之和，恰好重1斤。”则在此问题中，第5关收税金为（）

A、 $\frac{1}{36}$ 斤 B、 $\frac{1}{30}$ 斤 C、 $\frac{1}{25}$ 斤 D、 $\frac{1}{20}$ 斤

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10. 已知函数 $f (x) = 2 {cos}^{2} (ω x + \frac{π}{6}) - 1 (ω > 0)$ 在区间[ $\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}$ ]内单调递减，则 $ω$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 已知点 $A (4 ， 0) ， B (0 ， 4)$ ，点 $P (x ， y)$ 的坐标 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 3 x + 4 y - 12 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{B P}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{25}{4}$ B、0 C、 $－ \frac{196}{25}$ D、－8

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $x ln x - a x + a < 0$ 存在唯一的整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2 ln 2 ， ln 3]$ B、 $(2 ln 2 ， \frac{3}{2} ln 3]$ C、 $(2 ln 2 ， + \infty)$ D、 $[2 ln 2 ， \frac{3}{2} ln 3)$

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二、填空题

13. 二项式 ${(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中常数项为。

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14. 已知向量 $\overset{⇀}{a}, \overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，若 $| \overset{⇀}{a} | = 1, | \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = \sqrt{7}$ ，则 $| \overset{⇀}{b} |$ 。

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15. 当正实数 $m$ 变化时，斜率不为0的定直线始终与圆 ${(x - 2 m)}^{2} + {(y + m)}^{2} = m^{2}$ 相切，则直线的方程为。

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16. 已知 $P$ 为双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ 的一个公共点， $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ 分别为双曲线 $Γ$ 的左右焦点，设 $| P F_{1} | = k | P F_{2} |$ ，若 $k \in (1 ， 2]$ ，则双曲线 $Γ$ 的离心率的取值范围是。

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 4, a_{n} a_{n + 1} + 4 = 4 a_{n}$ 。
（I）求证： ${\frac{2}{a_{n} - 2}}$ 为等差数列；
（II）设 $b_{n} = (a_{n} - 2) (a_{n + 1} - 2)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和。

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18. 在△ABC中，角A ， B ， C所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin 2 A + \sqrt{3} cos 2 A = \sqrt{3}$
（I）求A；
（II）若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $\frac{a + b + c}{b cos C + c cos B}$ 的值。

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19. 某百货商场举行年终庆典，推出以下两种优惠方案：
方案一：单笔消费每满200元立减50元，可累计；
方案二：单笔消费满200元可参与一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有4个小球（其中2个红球2个白球，它们除颜色外完全相同）的盒子中随机摸出2个小球，若摸到2个红球则按原价的5折付款，若摸到1个红球则按原价的7折付款，若未摸到红球按原价的9折付款。
单笔消费不低于200元的顾客可从中任选一种优惠方案。
（I）某顾客购买一件300元的商品，若他选择优惠方案二，求该顾客最好终支付金额不超过250元的概率。
（II）若某顾客的购物金额为210元，请用所学概率知识分析他选择哪一种优惠方案更划算？

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别是 $F_{1}, F_{2}$ ，椭圆C的上顶点到直线 $x + 2 y - 4 a = 0$ 的距离为 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$ ，过 $F_{2}$ 且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于M ， N两点，
且｜MN｜＝1。
（I）求椭圆 $C$ 的方程；
（II）过点 $(0, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的直线与椭圆C相交于P ， Q两点，点 $A (\sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ），且 $∠ P A Q = 90^{0}$ ，求直线 $P Q$ 的方程。

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21. 已知函数 $f (x) = x 1 n x + a x^{2} (a \neq 0)$ 存在唯一极值点。
（I）求 $a$ 的取值范围；
（II）证明：函数 $y = f [f (x)]$ 与 $y = f (x)$ 的值域相同。

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线的方程为 $x + y = a (a > 0)$ ，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + c o s θ \\ y = s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），点 $P$ ， $Q$ 分别在直线和曲线 $C$ 上运动， $| P Q |$ 的最小值为 $\frac{3}{2} \sqrt{2} - 1$ 。
（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线 $l_{1} : θ = α (ρ \geq 0, 0 < α < \frac{π}{2})$ 与曲线 $C$ 交于不同的两点 $O, A,$ 与直线交于点 $B$ ，若 $| O A | = | A B |$ ，求 $α$ 的值。

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23. 已知关于 $x$ 的不等式 $| 2 x | + | 2 x - 1 | \leq m$ 有解。
（I）求实数 $m$ 的取值范围；
（II）已知 $a > 0, b > 0, a + b = m$ ，证明： $\frac{a^{2}}{a + 2 b} + \frac{b^{2}}{2 a + b} \geq \frac{1}{3}$ 。

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$x$	3	5	7	9
$y$	6	$a$	3	2