浙江省台州市2017-2018学年高一上学期数学期末质量评估试卷

试卷更新日期：2018-04-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A ={1,2}$ ， $B ={2,3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${1, 3}$ D、 ${2, 3}$

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2. $sin \frac{2 π}{3} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $1$

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3. 幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(2, \frac{1}{2})$ ，则 $f (3)$ =（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $3$ D、 $- 3$

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4. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 3, 4)$ ，则角 $α$ 的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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5. 下列函数中是奇函数的为（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = | x |$ D、 $y = x$

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$ ，则其值域为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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7. 设 $a = 2 sin \frac{π}{5} cos \frac{π}{5}$ ， $b = {cos}^{2} 5 ° - {sin}^{2} 5 °$ ， $c = \frac{tan 30 °}{1 - {tan}^{2} 30 °}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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8. 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为（）

A、 $6.5$ 元 B、 $8.5$ 元 C、 $10.5$ 元 D、 $11.5$ 元

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9. 已知函数 $f (x) = | A cos (x + φ) + 1 |$ ( $A > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $A = 2$ ， $φ = \frac{π}{6}$ B、 $A = 3$ ， $φ = - \frac{π}{6}$ C、 $A = 2$ ， $φ = \frac{π}{3}$ D、 $A = 3$ ， $φ = - \frac{π}{3}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 上的单调函数，且 $f (x) f (f (x) + \frac{1}{x}) = \frac{1}{2}$ ，则 $f (1)$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、4

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二、填空题

11. $- 60 °$ =弧度，它是第象限的角.

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12. $8^{\frac{2}{3}} =$ ， ${log}_{2} \sqrt{2} =$ .

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13. 函数 $f (x) = ln (x + 1)$ 的定义域是.

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14. $cos 40 ° (1 + \sqrt{3} tan 10 °) =$ .

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15. 设 $a = {log}_{3} 18$ ， $b = {log}_{5} 50$ ， $c = {log}_{7} 98$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（用“ $<$ ”连接）

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16. 已知 $θ \in [0, 2 π]$ ，关于 $x$ 的不等式 $x^{2} sin θ - x + cos θ > 0$ 在 $x \in [0, 1]$ 上恒成立，则 $θ$ 的取值范围为.

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三、解答题

17. 设集合 $M = {x | 2 x - a > 0}$ , $N = {x | x^{2} + 2 x - 3 \leq 0}$ .
(Ⅰ)当 $a = 1$ 时，求 $∁_{R} M$ ；
(Ⅱ)若 $N \subseteq M$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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18. 已知 $α$ 是第一象限的角，且 $sin α = 3 cos α$ .
(Ⅰ)求 $tan α$ , $tan (α + \frac{π}{4})$ 的值；
(Ⅱ) 求 $sin α$ , $cos α$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ .
(Ⅰ)当 $x \neq 1$ 时，求 $f (x - 2) + f (- x)$ 的值；
(Ⅱ)用函数单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在 $(- 1, + \infty)$ 上是增函数，并判断函数 $g (x) = f ({log}_{2} x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上的单调性.

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20. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}) + cos (2 x - \frac{π}{3}) - 2 cos 2 x$ ．
(Ⅰ)求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；
(Ⅱ)函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位后，得到偶函数 $g (x)$ 的图象，求实数 $m$ 的最小值.

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21. 已知 $a \geq 0$ ，函数 $f (x) = x^{2} - 4 | x - a | + a$ .
（Ⅰ）若 $a = 1$ ,求函数 $f (x)$ 的值域；
（Ⅱ）若函数 $f (x)$ 在 $[1, 4]$ 上不单调，求实数 $a$ 的取值范围；
（Ⅲ）若 $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $g (x) = f (x) - t$ （ $t$ 为实数）的其中两个零点，且 $x_{1} \leq a < x_{2}$ ，求当 $a, t$ 变化时， $x_{1} + x_{2}$ 的最大值.

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