浙江省台州市2017-2018学年高二上学期数学期末质量评估试卷

试卷更新日期：2018-04-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $135^{\circ}$

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2. 已知圆锥底面半径为 $1$ ，母线长为 $2$ ，则圆锥的侧面积为（）

A、 $4 π$ B、 $3 π$ C、 $2 π$ D、 $π$

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3. 抛物线 $y^{2} = x$ 的准线方程为（）

A、 $x = \frac{1}{2}$ B、 $x = \frac{1}{4}$ C、 $x = - \frac{1}{2}$ D、 $x = - \frac{1}{4}$

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4. 圆心为 $(1, 0)$ ，半径长为 $1$ 的圆的方程为（）

A、 $x^{2} - 2 x + y^{2} = 0$ B、 $x^{2} + 2 x + y^{2} = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} + 2 y = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 2 y = 0$

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5. 已知球 $O$ 的表面积为 $16 π$ ，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{8}{3} π$ C、 $\frac{16}{3} π$ D、 $\frac{32}{3} π$

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6. 已知直线 $l$ ， $m$ ，平面 $α$ ，若 $m \subset α$ ，则“ $l ⊥ m$ ”是“ $l ⊥ α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知方程 $(m - 1) x^{2} + (3 - m) y^{2} = (m - 1) (3 - m)$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(3, + \infty)$

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8. 如图，二面角 $α - l - β$ 的大小为 $θ$ ， $A$ ， $B$ 为棱 $l$ 上相异的两点，射线 $A C$ ， $B D$ 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱 $l$ ．若线段 $A C$ ， $A B$ 和 $B D$ 的长分别为 $m$ ， $d$ 和 $n$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $\sqrt{m^{2} + n^{2} + d^{2} - 2 m n cos θ}$ B、 $\sqrt{m^{2} + n^{2} + d^{2} + 2 m n cos θ}$ C、 $\sqrt{m^{2} + n^{2} + d^{2} - 2 m n sin θ}$ D、 $\sqrt{m^{2} + n^{2} + d^{2} + 2 m n sin θ}$

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9. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左，右焦点，点 $P$ 在双曲线上，且 $| P F_{1} | = λ | P F_{2} |$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ = \frac{1}{7}$ ，则双曲线离心率的取值范围为 $[\frac{10}{3}, + \infty)$ B、若 $λ = \frac{1}{7}$ ，则双曲线离心率的取值范围为 $(1, \frac{10}{3}]$ C、若 $λ = 7$ ，则双曲线离心率的取值范围为 $(1, \frac{4}{3}]$ D、若 $λ = 7$ ，则双曲线离心率的取值范围为 $[\frac{4}{3}, + \infty)$

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10. 若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上的动点 $P$ 满足 $\overset{⇀}{C A_{1}} \cdot (\overset{⇀}{P A_{1}} + \overset{⇀}{P C}) = 3 {\overset{⇀}{P C}}^{2}$ ，则动点 $P$ 的轨迹为（）

A、三段圆弧 B、三条线段 C、椭圆的一部分和两段圆弧 D、双曲线的一部分和两条线段

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二、填空题

11. 在空间直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 2 ， 3)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(0 ， 1 ， 2)$ ，则，两点
间的距离为．

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12. 已知直线 $l_{1}$ : $x + a y + 1 = 0$ 与 $l_{2}$ : $x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ ．

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13. 已知圆 $C$ 以坐标原点为圆心，且与直线 $x - y + 2 = 0$ 相切，则圆 $C$ 的方程为；圆 $C$ 与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的位置关系是．

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14. 某几何体的三视图如图所示，若俯视图是边长为 $2$ 的等边三角形，则这个几何体的
体积等于；表面积等于．

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15. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ 的左右焦点，若椭圆 $C$ 上存在点 $P$ ，且点 $P$ 在以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆内，则 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ， $E$ ， $F$ 分别在线段 $A D$ ， $B C$ 上，且 $A E = 1$ ， $B F = 3$ ．如图所示，沿 $E F$ 将四边形 $A E F B$ 翻折成 $A^{'} E F B^{'}$ ，则在翻折过程中，二面角 $B^{'} - C D - E$ 的正切值的最大值为．

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三、解答题

17. 已知直线 $l$ 过点 $(2, 1)$ ，且在 $y$ 轴上的截距为 $- 1$ ．
（I）求直线 $l$ 的方程；
（II）求直线 $l$ 被圆 $C : x^{2} + y^{2} = 5$ 所截得的弦长．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B C ⊥ A C$ ， $P A = 2$ ， $A C = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；
（Ⅱ）求直线 $P B$ 与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $(0, \sqrt{3})$ ，且离心率为 $\frac{1}{2}$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）若一组斜率为 $2$ 的平行线，当它们与椭圆 $C$ 相交时，证明：这组平行线被椭圆 $C$ 截得的线段的中点在同一条直线上．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P A$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ，且四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $∠ A B C = ∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $P A = A D = 2$ ， $A B = B C = 1$ ，点 $M$ ， $E$ 分别是 $P A$ ， $P D$ 的中点．
（I）求证： $C E$ $/ /$ 平面 $P A B$ ；
（Ⅱ）点 $Q$ 是线段 $B P$ 上的动点，当直线 $C Q$ 与 $D M$ 所成角最小时，求线段 $B Q$ 的长．

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21. 已知直线 $l$ ： $y = k x + m (m > 0)$ 与抛物线 $x^{2} = 4 y$ 交于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 两点，记抛物线在 $A$ ， $B$ 两点处的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点为 $P$ ．
(Ⅰ)求证： $x_{1} x_{2} = - 4 m$ ；
（Ⅱ）求点 $P$ 的坐标(用 $k$ ， $m$ 表示)；
（Ⅲ）若 $m + 2 k^{2} = m k^{2}$ ，求△ $A B P$ 的面积的最小值．

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