四川省遂宁市2017-2018学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-04-10 类型：期末考试

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一、单选题

1. 从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）

A、简单的随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样

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2. 直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的斜率是方程 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的位置关系是（）

A、平行 B、重合 C、相交但不垂直 D、垂直

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3. 图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为 $A_{1} ， A_{2} ，$ … $， A_{14}$ ，图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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4. 已知满 $x ， y$ 足条件 ${\begin{matrix} x \leq 0 \\ y \geq 0 \\ y - x \leq 2 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + y$ 的最小值为（）

A、0 B、1 C、-2 D、-1

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5. 如图，正方形 $A B C D$ 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内白色部分的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $1 - \frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{8}$ D、 $1 - \frac{π}{4}$

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6. 已知直线m，l，平面 $α ， β$ ，且 $m ⊥ α ， l ⊥ β$ ，给出下列命题：
①若 $α ∥ β$ ，则 $m ⊥ l$ ；    ②若 $α ⊥ β$ ，则 $m ∥ l$ ；
③若 $m ⊥ l$ ，则 $α ⊥ β$ ；   ④若 $m ∥ l$ ，则 $α ⊥ β$ .
其中正确的命题是（   ）

A、①④ B、③④ C、①② D、②③

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7. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3 ， A D = 4 ， A A_{1} = 5 ，$ ，则长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 外接球的表面积为（）

A、100 $π$ B、75 $π$ C、50 $π$ D、25 $π$

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8. 供电部门对某社区 $1000$ 位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为 $[0 ， 10)$ ， $[10 ， 20)$ ， $[20 ， 30)$ ， $[30 ， 40)$ ， $[40 ， 50]$ 五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）

A、 $12$ 月份人均用电量人数最多的一组有 $400$ 人 B、 $12$ 月份人均用电量不低于 $20$ 度的有 $500$ 人 C、 $12$ 月份人均用电量为 $25$ 度 D、在这 $1000$ 位居民中任选 $1$ 位协助收费，选到的居民用电量在 $[30 ， 40)$ 一组的概率为 $\frac{1}{10}$

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9. 若点 $(5 ， b)$ 在两条平行直线 $6 x - 8 y + 1 = 0$ 与 $3 x - 4 y + 5 = 0$ 之间，则整数 $b$ 的值为（）

A、 $- 4$ B、 $4$ C、 $- 5$ D、 $5$

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10. “微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕其体对角线 $B D_{1}$ 旋转 $θ$ 之后与其自身重合，则 $θ$ 的值可以是（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{3 π}{5}$

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12. 在直角坐标系内，已知 $A (3 ， 5)$ $A (3 ， 3)$ 是以点 $C$ 为圆心的圆上C的一点，折叠该圆两次使点 $A$ $A$ 分别与圆上不相同的两点（异于点 $A$ ）重合，两次的折痕方程分别为 $x - y + 1 = 0$ 和 $x + y - 7 = 0$ ，若圆C上存在点 $P$ ，使得 $∠ M P N = 90^{\circ}$ ，其中点 $M (- m ， 0)$ 、 $N (m ， 0)$ ，则 $m$ 的最大值为（）

A、7 B、6 C、5 D、4

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二、填空题

13. 如图所示，有A ， B ， C ， D ， E ， 5组数据，去掉组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系.（请用 $A 、 B 、$ $C 、 D 、 E$ 作答）

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14. 执行如右图所示的程序框图，若输入x=3，则输出 $y$ $y$ 的值为．

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15. 若直线 $y = k x + 3 (k > 1)$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ 相交于A，B两点，且 $| A B | = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，则k=.

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16. 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD为正方形，P为A₁D₁的中点， $A D = 2 ， A A_{1} = \sqrt{3}$ ，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且 $Q C = \sqrt{2} Q P$ ，则线段BQ的长度的最大值为.

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 的三个顶点坐标分别是 $A (- 2 ， - 1)$ ， $B (2 ， 1)$ ， $C (1 ， 3)$ ．

(1)、求边 $A B$ 高所在直线的点斜式方程；

(2)、求边 $A B$ 上的中线所在直线的一般式方程．

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18. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：
日期
1月10日
2月10日
3月10日
4月10日
5月10日
6月10日
昼夜温差
x (℃)
10
11
13
12
8
6
就诊人数
y(个)
22
25
29
26
16
12
该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验.
（参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ ）
参考数据：11×25+13×29+12×26+8×16= $11 \times 25 + 13 \times 29 + 12 \times 26 + 8 \times 16 =$ 1092，11²+13²+12²+8²=498.

(1)、请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = bx + a$ $\hat{y} = b x + a$ ；

(2)、若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想?

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19. 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

(1)、求证：平面；ACD

(2)、求直线 $A C$ 与平面 $B C D$ 所成角的正弦值.

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20. 遂宁市观音湖港口船舶停靠的方案是先到先停．

(1)、若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表从1，2，3，4，5中各随机选一个数（甲、乙选取的数互不影响），若两数之和为偶数，则甲先停靠；若两数之和为奇数，则乙先停靠，这种规则是否公平？请说明理由．

(2)、根据以往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请求出甲船先停靠的概率

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21. 如图三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $B_{1} C$ 的中点为 $O$ ，且 $A O ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ．

(1)、证明： $B_{1} C ⊥ A B$ ；

(2)、若 $A C ⊥ A B_{1} ， ∠ C B B_{1} = \frac{π}{3}$ ， $B C = 1$ ，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的高．

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22. 已知圆心在 $x$ 轴上的圆 $C$ 与直线 $l ： 4 x + 3 y - 6 = 0$ 切于点 $M (\frac{3}{5} ， \frac{6}{5})$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点N(2，0)，直线y=kx与圆 $C$ 交于 $P (x_{1} ， y_{1}) ， Q (x_{2} ， y_{2})$ 两点.
（ⅰ）求证： $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 为定值；
（ⅱ）求 ${| P N |}^{2} + {| Q N |}^{2}$ 的最大值.

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