陕西省榆林市2018届理数高考第一次模拟考试

试卷更新日期：2018-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | - 1 < x \leq 2, x \in Z}$ ，集合 $B = {2, 3}$ ，则 $A \cup B$ 等于（）

A、 ${2}$ B、 ${1, 2, 3}$ C、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$ D、 ${0, 1, 2, 3}$

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2. 若向量 $\vec{a} = (1, 1), \vec{b} = (2, 5), \vec{c} = (3, x)$ ，满足 $(8 \vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = 30$ ，则 $x =$ （）

A、 $6$ B、 $5$ C、 $4$ D、 $3$

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3. 设S_n是等差数列{a_n}的前n项和，已知a₂=3，a₆=11，则S₇等于（）

A、13 B、35 C、49 D、63

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4. 按下面的流程图进行计算.若输出的 $x = 202$ ，则输出的正实数 $x$ 值的个数最多为（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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5. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，线段 $P F_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上，若 $∠ P F_{1} F_{2} = 30^{\circ}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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6. 已知曲线 $C_{1} : y = sin x, C_{2} : y = cos (\frac{1}{2} x - \frac{5 π}{6})$ ，则下列说法正确的是（）

A、把 $C_{1}$ 上各点横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ ，得到曲线 $C_{2}$ B、把 $C_{1}$ 上各点横坐标伸长到原来的 $2$ 倍，再把得到的曲线向右平移 $\frac{2 π}{3}$ ，得到曲线 $C_{2}$ C、把 $C_{1}$ 向右平移 $\frac{π}{3}$ ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到曲线 $C_{2}$ D、把 $C_{1}$ 向右平移 $\frac{π}{6}$ ，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到曲线 $C_{2}$

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7. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何. 刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网络纸中粗线部分为其三视图，设网络纸上每个小正方形的边长为 $1$ 丈），那么该刍甍的体积为（）

A、 $4$ 立方丈 B、 $5$ 立方丈 C、 $6$ 立方丈 D、 $12$ 立方丈

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8. 曲线 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{x} (x > 0)$ 上一动点 $P (x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线斜率的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $3$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $6$

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9. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的 $6$ 个顶点都在球 $O$ 的球面上，若 $A B = 3, A C = 4, A B ⊥ A C, A A_{1} = 12$ ，则球 $O$ 的直径为（）

A、 $13$ B、 $4 \sqrt{10}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $\frac{2 \sqrt{17}}{2}$

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10. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \leq 1 \\ x + 1 \geq 0 \\ x - y \leq 1 \end{matrix}$ ，若目标函数 $z = \frac{y}{x + 2}$ 的取值范围 $[m ， n]$ 恰好是函数 $y = 2 sin ω x (ω > 0)$ 的一个单调递增区间，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{8}$

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11. 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右两个焦点，过点 $F_{2}$ 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 $M$ ，若点 $M$ 在以线段 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆外，则该双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(1, \sqrt{2})$ B、 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{3}, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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12. 对于函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，设 $α \in {x | f (x) = 0}$ ， $β \in {x | g (x) = 0}$ ，若存在 $α ， β$ ，使得 $| α - β | \leq 1$ ，则称 $f (x)$ 和 $g (x)$ 互为“零点相邻函数”，若函数 $f (x) = e^{x - 1} + x - 2$ 与 $g (x) = x^{2} - a x - a + 3$ 互为“零点相邻函数”，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2 ， 4]$ B、 $[2 ， \frac{7}{3}]$ C、 $[\frac{7}{3} ， 3]$ D、 $[2 ， 3]$

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二、填空题

13. 若角 $α$ 的终边经过点 $P (\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ ，则 $sin α \cdot tan α$ 的值是．

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14. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．

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15. 设 $l, m$ 是不同的直线， $α, β, γ$ 是不同的平面，则下列命题正确的是．
①若 $l ⊥ m, m ⊥ α$ ，则 $l ⊥ α$ 或 $l / / α$ .
②若 $l ⊥ γ, α ⊥ γ$ ，则 $l / / α$ 或 $l \subset α$ .
③若 $l / / α, m / / α$ ，则 $l / / m$ 或 $l$ 与 $m$ 相交.
④若 $l / / α, α ⊥ β$ ，则 $l ⊥ β$ 或 $l \subset β$ .

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P$ 是函数 $f (x) = e^{x} (x > 0)$ 的图象上的动点，该图象 $P$ 在处的切线 $l$ 交 $y$ 轴于 $M$ 点，过点 $P$ 作 $l$ 的垂线交 $y$ 轴于点 $N$ ，设线段 $M N$ 的中点的纵坐标为 $t$ ，则 $t$ 的最大值是．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\frac{- b + \sqrt{2} c}{cos B} = \frac{a}{cos A}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积 $S$ 的最大值.

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18. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1, n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} + n (n + 1), n \in N^{*}$ .

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{n}}$ 是等差数列；

(2)、若 $T_{n} = a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ .

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19. 在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ A B D = 90^{\circ} ， E B ⊥$ 平面 $A B C D ， E F / / A B ， A B = 2 ， E B = \sqrt{3} ， E F = 1 ， B C = \sqrt{13}$ ，且 $M$ 是 $B D$ 的中点.

(1)、求证： $E M / /$ 平面 $A D F$ ；

(2)、求二面角 $A - F D - B$ 的余弦值的大小.

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20. 已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $k$ ，过点 $k$ 做圆 $C : {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 9$ 的两条切线，切点为 $M, N, | M N | = 3 \sqrt{3}$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $A B$ 是讲过定点 $Q (2, 0)$ 的一条直线，且与抛物线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，过定点 $Q$ 作 $A B$ 的垂线与抛物线交于 $G, D$ 两点，求四边形 $A G B D$ 面积的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = x ln x ， g (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，记 $F (x) = f (x) - g (x)$ .

(1)、求证： $F (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 内有且仅有一个实数；

(2)、用 $min {a ， b}$ 表示 $a ， b$ 中的最小值，设函数 $m (x) = min {f (x) ， g (x)}$ ，若方程 $m (x) = c$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 内有两个不相等的实根 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，记 $F (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 内的实根为 $x_{0}$ .求证： $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} > x_{0}$ .

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点 $A$ 的极坐标为 $(4 \sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ cos (θ - \frac{π}{4}) = a$ ，且 $l$ 过点 $A$ ，曲线 $C_{1}$ 的参考方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s θ \\ y = \sqrt{3} s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数）.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 上的点到直线 $l$ 的距离的最大值与最小值；

(2)、过点 $B (- 2, 2)$ 与直线 $l$ 平行的直线 $l_{1}$ 与曲 $C_{1}$ 线交于 $M, N$ 两点，求 $| B M | \cdot | B N |$ 的值.

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23. 选修4-5：不等式选讲
设 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .求证：

(1)、 $a + b \geq 2$ ；

(2)、 $a^{2} + a < 2$ 与 $b^{2} + b < 2$ 不可能同时成立.

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