山东省寿光市2017-2018学年高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-04-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x | - 1 < x < 1}$ ， $B = {x | {log}_{2} x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- 1 ， 2)$ D、 $(0 ， 2)$

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2. 下列函数中，图象是轴对称图形且在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = - x^{2} + 1$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = {log}_{2} | x |$

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3. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 2 \leq 0 \\ x + y - 4 \geq 0 \\ y \leq 4 \end{matrix}$ ，则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、 $- 4$ B、 $- 1$ C、 $0$ D、 $4$

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4. 若角 $α$ 终边过点 $A (2 ， 1)$ ，则 $sin (\frac{3}{2} π - α) =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，且离心率为 $2$ ，则该双曲线的实轴长为（）

A、 $1$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $4 + 2 \sqrt{3}$ B、 $4 + 4 \sqrt{2}$ C、 $6 + 2 \sqrt{3}$ D、 $6 + 4 \sqrt{2}$

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7. 如图，六边形 $A B C D E F$ 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则恰好取在图中阴影部分的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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8. 函数 $y = \sqrt{3} sin 2 x - cos 2 x$ 的图象向右平移 $φ$ （ $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）个单位后，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若 $y = g (x)$ 为偶函数，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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9. 某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进 $3$ 个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮 $2$ 次，若至少投中 $1$ 次，则本轮通过，否则不通过。已知队员甲投篮 $1$ 次投中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲 $3$ 个轮次通过的次数 $X$ 的期望是（）

A、 $3$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $2$ D、 $\frac{5}{3}$

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 与直线 $2 x - y - 3 = 0$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，设 $O A$ ， $O B$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，则 $\frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸末，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到 $60$ 个组成，周而复始，循环记录。2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（）

A、己亥年 B、戊戌年 C、庚子年 D、辛丑年

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12. 已知函数 $f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - m f (x) - \frac{12}{e^{2}} = 0$ 的不同实数根的个数为 $n$ ，则 $n$ 的所有可能值为（）

A、3 B、1或3 C、3或5 D、1或3或5

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二、填空题

13. 已知单位向量 $\overset{⇀}{e_{1}}, \overset{⇀}{e_{2}}$ ，且 < $\overset{⇀}{e_{1}}, \overset{⇀}{e_{2}} >= \frac{π}{3}$ ，若向量 $\overset{⇀}{a} = \overset{⇀}{e_{1}} - 2 \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则 $| \overset{⇀}{a} | =$ ．

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14. $(1 + x + x^{2}) {(1 + x)}^{5}$ 展开式中 $x^{4}$ 的系数为（用数字作答）．

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15. 已知正四棱柱的顶点在同一球面 $O$ 上，且球 $O$ 的表面积为 $12 π$ ，当正四棱锥的体积最大时，正四棱柱的高为．

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16. 在如图所示的平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $Δ A C D$ 为等腰直角三角形，且 $∠ A C D = 90 °$ ，则 $B D$ 长的最大值为．

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三、解答题

17. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $S_{n} = 2 a_{n} - λ$ $(λ > 0, n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，并求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $λ = 4$ ， $b_{n} = {\begin{matrix} a_{n}, n 为奇数 \\ {log}_{2} a_{n}, n 为偶数 \end{matrix} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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18. 在 $▱ P A B C$ 中， $P A = 4$ ， $P C = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ P = 45 °$ ， $D$ 是 $P A$ 中点（如图1）.将 $Δ P C D$ 沿 $C D$ 折起到图2中 $Δ P_{1} C D$ 的位置，得到四棱锥 $P_{1} - A B C D$ .

(1)、将 $Δ P C D$ 沿 $C D$ 折起的过程中， $C D ⊥$ 平面 $P_{1} D A$ 是否成立？并证明你的结论；

(2)、若 $P_{1} D$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为60°，且 $Δ P_{1} D A$ 为锐角三角形，求平面 $P_{1} A D$ 和平面 $P_{1} B C$ 所成角的余弦值.

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19. 为研究某种图书每册的成本费 $y$ （元）与印刷数 $x$ （千册）的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.
表中 $u_{i} = \frac{1}{x_{i}}$ ， $\bar{u} = \frac{1}{8} \sum_{i = 1}^{8} u_{i}$ .
（附：对于一组数据 $(ω_{1} ， v_{1}) ， (ω_{2} ， v_{2}) ， \dots ， (ω_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{α} + \hat{β} ω$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $β = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (ω_{i} - \bar{ω}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(ω_{i} - \bar{ω})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \hat{v} - \hat{β} ω$ ）

(1)、根据散点图判断： $y = a + b x$ 与 $y = c + \frac{d}{x}$ 哪一个更适宜作为每册成本费 $y$ （元）与印刷数 $x$ （千册）的回归方程类型？（只要求给出判断，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程（回归系数的结果精确到0.01）；

(3)、若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78840元？（假设能够全部售出，结果精确到1）

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上动点 $P$ 到两焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之和为4，当点 $P$ 运动到椭圆 $C$ 的一个顶点时，直线 $P F_{1}$ 恰与以原点 $O$ 为圆心，以椭圆 $C$ 的离心率 $e$ 为半径的圆相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的左右顶点分别为 $A 、 B$ ，若 $P A 、 P B$ 交直线 $x = 6$ 于 $M 、 N$ 两点.问以 $M N$ 为直径的圆是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 ln x - 2 a x + x^{2}$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $g (x) = ln x - b x - c x^{2}$ ，若函数 $f (x)$ 的两个极值点恰为函数 $g (x)$ 的两个零点，当 $a \geq \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ 时，求 $y = (x_{1} - x_{2}) g^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ 的最小值.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ {cos}^{2} θ = sin θ$ （限定 $ρ \geq 0 ， 0 \leq θ < π$ ）.

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程，并求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的极坐标；

(2)、射线 $θ = β (\frac{π}{6} \leq β \leq \frac{π}{3})$ 与曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 分别交于点 $A 、 B$ （ $A 、 B$ 异于原点），求 $\frac{| O A |}{| O B |}$ 的取值范围.

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | x + 1 | + | x - a | (- 1 < a \leq 0)$ .

(1)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) > 1$ 的解集；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，证明： $m \leq 1$ .

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