山东省德州市2017-2018学年高三上学文数期期末考试试卷

试卷更新日期：2018-04-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 1 < x < 3}$ ， $N = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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2. 在复平面内，复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2$ ，则 $z$ 的共轭复数对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知直线 $l_{1}$ ： $x + a y - 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(a + 1) x - a y = 0$ ，若 $p$ ： $l_{1} / / l_{2}$ ； $q : a = - 2$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 3 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = - 2 x + y$ 的最小值为（）

A、 $- 4$ B、-2 C、 $0$ D、 $2$

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5. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果 $n =$ （）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $3$ D、 $2$

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6. 设函数 $f (x) = (x^{2} + 1) \cdot ln (1 + | x |)$ ，则使得 $f (1) > f (2 x - 1)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- 1, 1)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (0, + \infty)$

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点 $A$ 的坐标为 $(- 3 ， 0)$ ．点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ．直线 $B D$ 的方程为： $3 x + 4 y - 3 = 0$ 且四边形 $B D F E$ 为正方形，若在五边形 $A B E F D$ 内随机取一点，则该点取自三角形 $B C D$ (阴影部分)的概率等于（）

A、 $\frac{9}{62}$ B、 $\frac{5}{31}$ C、 $\frac{11}{62}$ D、 $\frac{6}{31}$

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8. 若双曲线的中心为原点， $F (0, - 2)$ 是双曲线的焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线相交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $M N$ 的中点为 $P (3, 1)$ 则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ B、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ D、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{e^{x} - 5 x - 1}$ （其中 $e$ 为自然对数的底数），则 $y = f (x)$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（）

A、 $\frac{32 \sqrt{3}}{3} + \frac{16 π}{3}$ B、 $8 \sqrt{3} + \frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{32 \sqrt{3}}{3} + 6 π$ D、 $8 \sqrt{3} + 6 π$

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11. 已知点 $F_{1}$ 是抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y$ 的焦点，点 $F_{2}$ 为抛物线 $C$ 的对称轴与其准线的交点，过 $F_{2}$ 作抛物线 $C$ 的切线，切点为 $A$ ，若点 $A$ 恰好在以 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\sqrt{2} + 1$ D、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

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12. 已知 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若对于 $\forall a$ ， $b$ ， $c \in D$ ， $f (a)$ ， $f (b)$ ， $f (c)$ 分别为某个三角形的三边长，则称 $f (x)$ 为“三角形函数”，下例四个函数为“三角形函数”的是（）

A、 $f (x) = ln (x + 1) (x > 0)$ ； B、 $f (x) = 4 - cos 2 x$ ； C、 $f (x) = \sqrt{x} (1 \leq x \leq 16)$ ； D、 $f (x) = e^{x} (0 \leq x \leq 1)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 2, 2)$ ， $\vec{b} = (3, m)$ ，若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $m =$ ．

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14. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} f (x - 2), x \geq 2, \\ | x^{2} - 2 |, x < 2 \end{matrix}$ 则 $f (5) =$ ．

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15. 抽样统计甲、乙两位射击运动员的 $5$ 次训练成绩（单位：环）结果如下：
则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．

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16. 在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边长一点， $A D = 2$ ， $∠ D A C = 60^{\circ}$ ．若 $A C = 4 - C D$ 且 $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $sin ∠ A B C =$ ．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 满足 $3 S_{n} = 4 a_{n} - 2 (n \in N^{*})$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = {log}_{\frac{1}{2}} a_{n}$ ．求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $A E = 2 E C$ ， $P E ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，点 $F$ 在线段 $A B$ 上，且 $E F / / B C$ ．
（Ⅰ）证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P E F$ ；
（Ⅱ）设 $P E = 4$ ， $B C = 6$ ， $cos ∠ A B P = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若 $M$ 为棱 $P C$ 上一点，且 $E M / /$ 面 $P A B$ ，求四棱锥 $M - B C E F$ 的体积．

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19. 某高中三年级共有 $1000$ 人，其中男生 $650$ 人，女生 $350$ 人，为调查该年级学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 $200$ 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．
（Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？
（Ⅱ）根据这 $200$ 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示）．其中样本数据分组区间为： $[0 ， 2]$ ， $(2 ， 4]$ ， $(4 ， 6]$ ， $(6 ， 8]$ ， $(8 ， 10]$ ， $(10 ， 12]$ ．估计该年组学生每周平均体育运动时间超过 $6$ 个小时的概率．

（Ⅲ）在样本数据中，有 $20$ 位女生的每周平均体育运动时间超过 $6$ 个小时．请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有 $95 %$ 的把握认为“该年级学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k_{0})$
$0.10$
$0.05$
$0.010$
$0.005$
$k_{0}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$
$7.879$

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右有顶点分别是 $A$ 、 $B$ ，上顶点是 $D$ ，圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的圆心 $O$ 到直线 $B D$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，且椭圆的右焦点与抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ 的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）平行于 $x$ 轴的动直线与椭圆和圆在第一象限内的交点分别为 $P$ 、 $Q$ ，直线 $A P$ 、 $B P$ 与 $y$ 轴的交点记为 $M$ ， $N$ ．试判断 $∠ M Q N$ 是否为定值，若是，证明你的结论．若不是，举反例说明．

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21. 已知 $f (x) = (x - 1) e^{x} + \frac{1}{2} a x^{2}$ ．
（Ⅰ）当 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处切线的斜率为 $2 e$ ，求 $a$ 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，求 $f (x)$ 的极值；
（Ⅲ）若 $f (x)$ 有 $2$ 个不同零点，求 $a$ 的取值范围．．

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22. 极坐标系的极点为直角坐标系 $x O y$ 的原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴，两神坐标系中的长度单位相同．已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 sin θ$ ， $θ \in [0 ， 2 π)$ ．
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）在曲线 $C$ 上求一点，使它到直线 $l$ ： ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} t + \sqrt{3} \\ y = - 3 t + 2 \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）的距离最短，写出 $D$ 点的直角坐标．

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23.
已知函数 $f (x) = | x + a | (a \in R)$ ．
（Ⅰ）若 $f (x) \geq | 2 x + 3 |$ 的解集为 $[- 3, - 1]$ ，求 $a$ 的值；
（Ⅱ）若 $\forall x \in R$ ，不等式 $f (x) + | x - a | \geq a^{2} - 2 a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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$P (K^{2} \geq k_{0})$	$0.10$	$0.05$	$0.010$	$0.005$
$k_{0}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$