湖北省恩施州2017-2018学年高三理数第一次教学质量监测考试

试卷更新日期：2018-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | 3 x^{2} - 5 x - 2 \leq 0}$ ， $N = {m, m + 1}$ ，若 $M \cup N = M$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{3}, 1]$ B、 $[- \frac{1}{3}, 1]$ C、 $[- 2, - \frac{2}{3}]$ D、 $[- \frac{1}{3}, 2]$

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2. 已知 $a \in R, i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z i = (a + 1) + 4 i$ ，且 $| z | = 5$ ，则 $a =$ （）

A、2或 $- 4$ B、 $- 4$ C、2 D、 $\pm 4$

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3. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： $℃$ ）的数据，绘制了下面的折线图。
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）

A、最低气温与最高气温为正相关 B、10月的最高气温不低于5月的最高气温 C、月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 D、最低气温低于 $0 ℃$ 的月份有4个

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差 $d < 0, S_{7} = 21$ ，且 $a_{2} \cdot a_{6} = 5$ ，则 $a_{19} =$ （）

A、 $- 10$ B、 $- 11$ C、 $- 12$ D、 $- 14$

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5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何? ”其意思为:“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $142 π$ 平方尺 B、 $140 π$ 平方尺 C、 $138 π$ 平方尺 D、 $128 π$ 平方尺

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6. 定义 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $(x) = x - [x]$ ，例如 $[2 ， 1] = 2 ， (2 ， 1) = 0.1$ ，执行如图所示的程序框图，若输入的 $x = 5.8$ ，则输出的 $z =$ （）

A、 $- 1.4$ B、 $- 2.6$ C、 $- 2.8$ D、 $- 4.6$

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7. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $6 π$ ，且其图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位后得到函数 $g (x) = sin ω x$ 的图象，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{2 π}{9}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{4 π}{9}$

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8. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \geq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y - 3 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = 3 x - 2 y$ 的最大值为（）

A、 $- 1$ B、3 C、9 D、12

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9. 函数 $f (x) = \frac{x (e^{- x} - e^{x})}{4 x^{2} - 1}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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11. 设椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (1, 0)$ ，点 $A (- 1, 1)$ 为椭圆 $E$ 内一点，若椭圆 $E$ 上存在一点 $P$ ，使得 $| P A | + | P F | = 9$ ，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, 1)$ B、 $[\frac{1}{5}, \frac{1}{4}]$ C、 $[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}]$

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12. 已知 $λ > 0$ ，若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $e^{2 λ x} - \frac{ln x}{2 λ} \geq 0$ 恒成立，则 $λ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2 e}$ B、 $e$ C、 $\frac{e}{2}$ D、 $\frac{2}{e}$

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二、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中， $| \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} | = | \overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C} |$ ， $| \overset{⇀}{A B} | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ ．

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14. $x {(1 - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中常数项为．

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15. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2}, a_{6}$ 是 $3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{6}} + a_{4}^{2} =$ ．

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16. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线分别交于 $A$ ， $B$ ，且 $A (m, 18)$ 在第一象限，若 $Δ A B F_{2}$ 为等边三角形，则双曲线的实轴长为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{b cos C + c cos B}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} a cos B$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = \sqrt{7}, c = 2 \sqrt{3}, a > b$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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18. 某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.

(1)、求甲获得奖品的概率；

(2)、设 $X$ 为甲参加游戏的轮数，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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19. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $B_{1} E ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Δ A B_{1} C$ 是等边三角形， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $A C = 2 B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ .

(1)、证明： $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、求二面角 $A - B B_{1} - C$ 的正弦值．

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20. 设直线 $l$ 的方程为 $x = m (y + 2) + 5$ ，该直线交抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 于 $P, Q$ 两个不同的点.

(1)、若点 $A (5, - 2)$ 为线段 $P Q$ 的中点，求直线 $l$ 的方程；

(2)、证明：以线段 $P Q$ 为直径的圆 $M$ 恒过点 $B (1, 2)$ .

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21. 函数 $f (x) = x^{2} + m ln (1 + x)$ .

(1)、当 $m > 0$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $2 f (x_{2}) > - x_{1} + 2 x_{1} ln 2$ .

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t - \sqrt{3} \\ y = k t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），直线 $l_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} - m \\ y = \frac{m}{3 k} \end{matrix}$ （ $m$ 为参数），设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $P$ ，当 $k$ 变化时， $P$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ .

(1)、写出 $C_{1}$ 的普遍方程及参数方程；

(2)、以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{4}) = 4 \sqrt{2}$ ， $Q$ 为曲线 $C_{1}$ 上的动点，求点 $Q$ 到 $C_{2}$ 的距离的最小值.

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23.
已知函数 $f (x) = | x + a | (a \in R)$ ．
（Ⅰ）若 $f (x) \geq | 2 x + 3 |$ 的解集为 $[- 3, - 1]$ ，求 $a$ 的值；
（Ⅱ）若 $\forall x \in R$ ，不等式 $f (x) + | x - a | \geq a^{2} - 2 a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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