河北省张家口市2018届高三上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2018-04-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $A = {1, 3}$ ， $B = {3, 4}$ 则 $(C_{U} A) \cap (C_{U} B) =$ （）

A、 ${2, 5}$ B、 ${3, 5}$ C、 ${1, 3, 5}$ D、 ${2, 4}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $i (z + 1) =$ $- 3 + 2 i$ （ $i$ 是虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $4$

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3. 将函数 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向左平移 $\frac{1}{4}$ 个周期后，所得图象对应的函数关系式为（）

A、 $y = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、 $y = 2 sin (2 x + \frac{5 π}{6})$ C、 $y = 2 sin (2 x + \frac{π}{12})$ D、 $y = 2 sin (2 x + \frac{7 π}{12})$

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4. 已知函数 $f (x)$ 的图像关于原点对称，且周期为 $4$ ，若 $f (- 1) = 2$ ，则 $f (2017) =$ （）

A、 $2$ B、 $0$ C、 $- 2$ D、 $- 4$

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5. 体积为 $8$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内有一个体积为 $V$ 的球，则 $V$ 的最大值为（）

A、 $8 π$ B、 $4 π$ C、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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6. 若抛物线 $y = a x^{2}$ 的焦点坐标 $(0, 2)$ ，则 $a$ 的值为（）

A、 $8$ B、 $4$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{4}$

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7. 有一位同学开了一个超市，通过研究发现，气温 x（℃）与热饮销售量 y （杯）的关系满足线性回归模型 $y = - 2.5 x + 148 + e$ （ $e$ 是随机误差），其中 $| e | \leq 2$ .如果某天的气温是 20℃ ，则热饮销售量预计不会低于（）

A、102 杯 B、100 杯 C、96 杯 D、94 杯

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8. 《张丘建算经》卷上第 $22$ 题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第 $2$ 天开始，每天比前一天多织相同量的布，第 $1$ 天织了 $5$ 尺布，现在一月（按 $30$ 天计算）共织 $390$ 尺布，则该女子第 $30$ 天织布（）

A、 $20$ 尺 B、 $21$ 尺 C、 $22$ 尺 D、 $23$ 尺

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9. 执行如图所示的程序框图，输出的 $s$ 值为（）

A、 $\frac{53}{15}$ B、 $\frac{15}{4}$ C、 $\frac{68}{15}$ D、 $\frac{23}{2}$

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $P$ 为双曲线右支上一点，且满足 ${| P F_{1} |}^{2} - {| P F_{2} |}^{2} = 4 \sqrt{15}$ ，则 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的周长为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $2 \sqrt{5} + 4$ D、 $2 \sqrt{3} + 4$

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11. 某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是由正方形和等腰直角三角形组成的，正方形边长为 $2$ ，俯视图由边长为 $2$ 的正方形及其一条对角线组成，则该几何体的表面积为（）

A、 $26 + \sqrt{6}$ B、 $\frac{28}{3}$ C、 $28 + 2 \sqrt{3}$ D、 $26 + 2 \sqrt{3}$

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12. 定义域为 $R$ 的可导函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，且满足 $f (x) + f' (x) < 0$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $f (1) < \frac{f (0)}{e} < \frac{f (- 1)}{e^{2}}$ B、 $f (- 1) < \frac{f (0)}{e} < \frac{f (1)}{e^{2}}$ C、 $\frac{f (0)}{e} < f (1) < \frac{f (- 1)}{e^{2}}$ D、 $\frac{f (1)}{e^{2}} < \frac{f (0)}{e} < f (- 1)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- 1, 2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (m, - 1)$ ，若 $| \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} |$ ，则 $m =$ ．

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14. 已知变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y \geq 1 \\ x + y \geq 1 \\ 1 \leq x \leq a \end{matrix}$ ，目标函数 $z = x + 2 y$ 的最小值为 $0$ ，则实数 $a =$ ．

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15. 将正整数对作如下分组，第 $1$ 组为 ${(1, 2), (2, 1)}$ ，第 $2$ 组为 ${(1, 3), (3, 1)}$ ，第 $3$ 组为 ${(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}$ ，第 $4$ 组为 ${(1, 5), (2, 4) (4, 2) (5, 1)} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 则第 $30$ 组第 $16$ 个数对为．

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16. 已知 $Δ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ $c$ ，若 $b = 1$ ， $c = \sqrt{3}$ ，且 $a sin B cos C + c sin B cos A = \frac{1}{2}$ ，则 $a =$ ．

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三、解答题

17. 设 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 3 (n \in N^{*})$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）令 $b_{n} = \frac{1}{{log}_{3} a_{n} \cdot {log}_{3} a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2018}$ .

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18. 某企业为了了解职工的工作状况，随机抽取了一个车间对职工工作时间的情况进行暗访，工作时间在 $8.0$ 小时及以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成 $6$ 组画出频率分布直方图（如图所示），但由于工作疏忽，没有画出最后一组，只知道最后一组的频数是 $7$ .

（Ⅰ）求这次暗访中工作时间不合格的人数；
（Ⅱ）已知在工作时间超过 $10.0$ 小时的人中有两名女职工，现要从工作时间在 $10.0$ 小时以上的人中选出两名代表在职工代表大会上发言，求至少选出一位女职工作代表的概率.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形， $Δ P A D$ 为等边三角形， $E$ ， $M$ 分别是 $A D$ ， $P D$ 的中点， $P B = 2 \sqrt{2}$ .
（Ⅰ）求证：平面 $P B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
（Ⅱ）求点 $P$ 到平面 $A C M$ 的距离.

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20. 过椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 3)$ 的上顶点 $A$ 作相互垂直的两条直线，分别交椭圆于不同的两点 $M$ ， $N$ （点 $M$ ， $N$ 与点 $A$ 不重合）
（Ⅰ）设椭圆的下顶点为 $B (0, - b)$ ，当直线 $A M$ 的斜率为 $\sqrt{5}$ 时，若 $S_{Δ A N B} = 2 S_{Δ A M B}$ ，求 $b$ 的值；
（Ⅱ）若存在点 $M$ ， $N$ ，使得 $| A M | = | A N |$ ，且直线 $A M$ ， $A N$ 斜率的绝对值都不为 $1$ ，求 $b$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = a ln x + 2 x$
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的单调性并求极值；
（Ⅱ）若点 $(1, 0)$ 在函数 $g (x) = f' (x) = ln x - 3$ 上，当 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} - x_{2} = 2$ 时，证明： ${(\frac{x_{1}}{x^{2}})}^{x_{1}} \geq e^{2}$ （ $e$ 是自然对数的底数）

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22. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）；在以直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{2 cos θ}{{sin}^{2} θ}$ .
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的直角坐标方程和直线 $l$ 的普通方程；
（Ⅱ）若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $P$ ，求 $| P A | + | P B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - t | + | \frac{1}{2} x + 1 | (t > 0)$ 的最小值为 $2$ .
（Ⅰ）求实数 $t$ 的值；
（Ⅱ）若 $a, b \in R$ ，且 $| a + b | \leq \frac{1}{3}$ ， $| a - 2 b | \leq \frac{1}{2}$ ，求证： $| a + 7 b | \leq 4$ .

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