广东省珠海市2017-2018学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2018-04-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 2 < x \leq 3}$ ， $B = {x \in R | 0 \leq x < 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $｛ x \in R | 0 \leq x \leq 3 ｝$ B、 $｛ x \in Z | - 2 < x < 4 ｝$ C、 $｛ - 1, 0, 1, 2, 3 ｝$ D、 $｛ 0, 1, 2, 3 ｝$

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2. 函数 $y = \frac{ln (x + 1)}{x - 1} + 2^{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 ${x | x > - 1 且 x \neq 1}$ B、 ${x | x > 1 且 x \neq 2}$ C、 ${x | - 1 < x < 1}$ D、 ${x | x \neq - 1 且 x \neq 1}$

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3. 已知函数，则 $f (x) = {\begin{matrix} {log}_{2} x - 1, x > 0 \\ | 2 x - 6 |, x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 1) - 1) =$ （）

A、 $2 {log}_{2} 3 - 2$ B、 ${log}_{2} 7 - 1$ C、2 D、 ${log}_{2} 6$

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4. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} B_{1} = \sqrt{2} ， B_{1} C_{1} = 1 ， C C_{1} = 1$ ，则异面直线 $D B_{1}$ 与 $C_{1} C$ 所成角的大小是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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5. 定义在 $[0, 6]$ 上的连续函数 $y = f (x)$ 有下列的对应值表：
$x$
0
1
2
3
4
5
6
$y$
0
-1.2
-0.2
2.1
-2
3.2
2.4
则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 在 $[0, 6]$ 上有4个零点 B、函数 $y = f (x)$ 在 $[0, 6]$ 上只有3个零点 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[0, 6]$ 上最多有4个零点 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[0, 6]$ 上至少有4个零点

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6. 两圆 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 和 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 y - 11 = 0$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相交 C、内切 D、外切

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7. 对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是（）

A、三角形的直观图仍然是一个三角形 B、 $90 °$ 的角的直观图会变为 $45 °$ 的角 C、与 $y$ 轴平行的线段长度变为原来的一半 D、原来平行的线段仍然平行

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8. 某同学用二分法求方程 $ln x + 2 x - 6 = 0$ 的近似解，该同学已经知道该方程的一个零点在 $(2 ， 3)$ 之间，他用二分法操作了7次得到了方程 $ln x + 2 x - 6 = 0$ 的近似解，那么该近似解的精确度应该为（）

A、0.1 B、0.01 C、0.001 D、0.0001

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9. 对于空间两不同的直线 $1_{1} ， 1_{2}$ ，两不同的平面 $α ， β$ ，有下列推理：
⑴ $\begin{matrix} 1_{1} ⊥ 1_{2} \\ 1_{1} ∥ α \end{matrix}} \Rightarrow 1_{2} ⊥ α$ ，（2） $\begin{matrix} 1_{1} ∥ α \\ 1_{1} ∥ 1_{2} \end{matrix}} \Rightarrow 1_{2} ∥ α$ ，（3） $\begin{matrix} 1_{1} ⊥ β \\ α ⊥ β \end{matrix}} \Rightarrow 1_{1} ∥ α$
⑷ $\begin{matrix} 1_{1} ⊥ α \\ 1_{2} ⊥ α \end{matrix}} \Rightarrow 1_{1} ∥ 1_{2}$ ，（5） $\begin{matrix} 1_{1} ⊥ α \\ 1_{2} ∥ α \end{matrix}} \Rightarrow 1_{1} ⊥ 1_{2}$
其中推理正确的序号为（）

A、（1）（3）（4） B、（2）（3）（5） C、（4）（5） D、（2）（3）（4）（5）

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10. 一个三棱锥的三视图如右图所示，则这个三棱锥的表面积为（）

A、 $16 + \sqrt{11}$ B、 $8 + \sqrt{22}$ C、 $6 + \sqrt{26}$ D、 $8 + 2 \sqrt{11}$

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11. 函数 $y = 2^{x} - x^{2}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 设函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + 2$ ，对于满足 $1 < x < 4$ 的一切 $x$ 值都有 $f (x) > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a \geq 1$ B、 $\frac{1}{2} < a < 1$ C、 $a \geq \frac{1}{2}$ D、 $a > \frac{1}{2}$

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二、填空题

13. 已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $x > 0$ 时， $f (x) = x + 2 x^{2}$ ，则 $x < 0$ 时， $f (x) =$ ．

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14. 计算 ${(- 8)}^{\frac{2}{3}} \times {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{- 2} \times \sqrt[3]{27^{- 1}} =$ ．

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15. 已知直线 $m : y = k_{1} x + 2$ 与直线 $n : y = k_{2} x + \sqrt{3} + 1$ 的倾斜角分别为 $45 °$ 和 $60 °$ ，则直线 $m$ 与 $n$ 的交点坐标为．

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16. 计算 $lg 4 + 21 g 5 + {log}_{2} 5 \cdot {log}_{5} 8 =$ ．

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17. 一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为 $120 °$ 的扇形，则该圆锥的体积为．

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18. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b > 0$ 且 $b \neq 1$ ，如果无论 $a, b$ 在给定的范围内取任何值时，函数 $y = x + {log}_{a} (x - 2)$ 与函数 $y = b^{x - c} + 2$ 总经过同一个定点，则实数 $c =$ ．

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19. 在空间直角坐标系中，点 $A (\sqrt{2}, 1, \sqrt{3})$ 在平面 $yOz$ 上的射影为点 $B$ ，在平面 $x O z$ 上的射影为点 $C$ ，则 $| B C | =$ ．

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20. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为 $3 000$ 元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.若使租赁公司的月收益最大，每辆车的月租金应该定为．

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三、解答题

21. 已知全集 $I = R$ ， $A = {x \in R | - 1 < x \leq 2}$ ， $B = {x \in R | x < a}$ .

(1)、求 $∁_{I} A$ ；

(2)、若 $A \cap B \neq ϕ$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系中，已知直线 $m ： a x - 3 y + 2 = 0$ .

(1)、若直线 $m$ 在 $x$ 轴上的截距为-2，求实数 $a$ 的值，并写出直线 $m$ 的截距式方程；

(2)、若过点 $M (3 ， 1)$ 且平行于直线 $m$ 的直线 $n$ 的方程为： $4 x - 6 y + b = 0$ ，求实数 $a ， b$ 的值，并求出两条平行直线 $m ， n$ 之间的距离.

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23. 如图， $B D$ 是平面四边形 $A B C D$ 的对角线， $B D ⊥ A D$ ， $B D ⊥ B C$ ，且 $C D = 2 B D = 2 A D = 2$ .现在沿 $B D$ 所在的直线把 $Δ A B D$ 折起来，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，如图.

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、求点 $D$ 到平面 $A B C$ 的距离.

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24. 在平面直角坐标系中已知圆心 $C$ 在直线 $x - 2 y = 0$ 上的圆 $C$ 经过点 $A (4, 0)$ 但不经过坐标原点，并且直线 $4 x - 3 y = 0$ 与圆 $C$ 相交所得的弦长为4.

(1)、求圆 $C$ 的一般方程；

(2)、若从点 $M (- 4, 1)$ 发出的光线经过 $x$ 轴反射，反射光线刚好通过圆 $C$ 的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.

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25. 若函数 $y = f (x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的奇函数，并且在区间 $[0, + \infty)$ 上是单调递增的函数.

(1)、研究并证明函数 $y = f (\frac{2 x + 1}{x - 1})$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上的单调性；

(2)、若实数 $a$ 满足不等式 $f (a - 1) + f (1 - 2 a) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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$x$	0	1	2	3	4	5	6
$y$	0	-1.2	-0.2	2.1	-2	3.2	2.4