广东省佛山市2017-2018学年高一上学期数学期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2018-04-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，则正确表示集合 $A = {-1，0，1}$ 和 $B = {x| x^{2} = x}$ 关系的韦恩图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列函数既是奇函数，又是在区间 $(1, + \infty)$ 上是增函数是（）

A、 $y = e^{x} - e^{- x}$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = sin x$ D、 $y = ln | x |$

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3. 已知 $\overset{⇀}{a} = (1, 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (1, 1)$ ，且 $(\overset{⇀}{a} + λ \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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4. 已知 $tan α = - \sqrt{3}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ ，则 $sin α - cos α =$ （）

A、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}$

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5. 函数 $y$ = $x^{2} + ln | x |$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $\overset{⇀}{O A} = (cos 15^{0}, sin 15^{0})$ ， $\overset{⇀}{O B} = (cos 75^{0}, sin 75^{0})$ ，则 $| \overset{⇀}{A B} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、1

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7. 已知偶函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 单调递减，则使得 $f (2^{x}) > f (- \frac{1}{2})$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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8. 如图所示， $Δ A B C$ 是顶角为 $120^{0}$ 的等腰三角形，且 $A B = 1$ ，则 $\overset{⇀}{A B} • \overset{⇀}{B C} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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9. 已知 $α, β$ 为锐角，且 $tan α = 7$ ， $sin (α - β) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $cos 2 β =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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10. 若 $0 < a < b < 1$ ，则错误的是（）

A、 $a^{3} < b^{2}$ B、 $2^{a} < 3^{b}$ C、 ${log}_{2} a < {log}_{3} b$ D、 ${log}_{a} 2 < {log}_{b} 3$

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11. 将函数 $f (x) = \sqrt{3} cos 2 x - sin 2 x$ 的图像向右平移 $θ$ 个单位后得到的图像关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，则 $θ$ 的最小正值为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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12. 如图，直线 $A B$ 与单位圆相切于点 $O$ ，射线 $O P$ 从 $O A$ 出发，绕着点 $O$ 逆时针旋转，在旋转的过程中，记 $∠ A O P = x$ （ $0 < x < π$ ）， $O P$ 所经过的单位圆 $O$ 内区域（阴影部分）的面积为 $S$ ，记 $S = f (x)$ ，则下列选项判断正确的是（）

A、当 $x = \frac{3 π}{4}$ 时， $S = \frac{3 π}{4} - \frac{1}{2}$ B、对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， π)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ C、对任意 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，都有 $f (\frac{π}{2} - x) + f (\frac{π}{2} + x) = π$ D、对任意 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，都有 $f (x + \frac{π}{2}) = f (x) + \frac{π}{2}$

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二、填空题

13. 计算： $2^{{log}_{2} 3} + lg \sqrt{5} + lg \sqrt{20} =$ ．

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14. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 上的中点，若 $D E$ 与对角线 $A C$ 相交于 $F$ ，且 $\overset{⇀}{A C} = λ \overset{⇀}{A F}$ ，则 $λ =$ ．

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15. 已知函数 $f (x)$ 同时满足以下条件：
① 定义域为 $R$ ；
② 值域为 $[0, 1]$ ；
③ $f (x) - f (- x) = 0$ .
试写出一个函数解析式 $f (x) =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{3})$ ， $x \in R$ ，那么函数 $y = f (x)$ 的图像与函数 $y = | lg x |$ 的图像的交点共有个．

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三、解答题

17. 已知 $cos α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ .

(1)、求 $sin 2 α$ 的值；

(2)、求 $cos (\frac{π}{4} + α) cos (α - \frac{3 π}{2})$ 的值.

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18. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + ϕ)$ $(ω > 0 ， 0 < ϕ < π)$ 的图像如图所示.

(1)、求函数的解析式；

(2)、当 $x \in [2 ， 3]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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19. 如图，已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，点 $P$ 为矩形内一点，且 $| \overset{⇀}{A P} | = 1$ ，设 $∠ B A P = α$ .

(1)、当 $α = \frac{π}{3}$ 时，求 $\overset{⇀}{P C} • \overset{⇀}{P D}$ 的值；

(2)、求 $(\overset{⇀}{P C} + \overset{⇀}{P D}) • \overset{⇀}{A P}$ 的最大值.

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20. 国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼吸酒精含量阀值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫克升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝1瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：

该函数模型如下：
$f (x) = {\begin{matrix} 44.21 s i n (\frac{π}{3} x) + 0.21 ， 0 \leq x < 2 \\ 54.27 \cdot e^{- 0.3 x} + 10.18 ， x \geq 2 \end{matrix}$
根据上述条件，回答以下问题：
（参数数据： $ln 9.82 \approx 2.28$ ， $ln 10.18 \approx 2.32$ ， $ln 54.27 \approx 3.99$ ）

(1)、试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？

(2)、试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）

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21. 已知函数 $f (x) = ln x$ ， $g (x) = 6 - 2 x$ ，设 $H (x) = min {f (x) ， g (x)}$ （其中 $min {p ， q}$ 表示 $p ， q$ 中的较小者）.
（参考数据： $ln 2.5 \approx 0.92$ ， $ln 2.625 \approx 0.97$ ， $ln 2.75 \approx 1.01$ ）

(1)、在坐标系中画出函数 $H (x)$ 的图像；

(2)、设函数 $H (x)$ 的最大值为 $H (x_{0})$ ，试判断 $H (x_{0})$ 与1的大小关系，并说明理由.

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22. 已知 $f (x) = x | x - a |$ ， $a > 0$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[- 1 ， 3]$ 上的最大值；

(2)、对任意的 $x_{1} ， x_{2} \in [- 1 ， 1]$ ，都有 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | \leq 4$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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