广东省佛山市2017-2018学年高二上学期文数期末教学质量检测卷

试卷更新日期：2018-04-09 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若命题 $p ： \exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 \leq 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 > 0$ B、 $\exists x_{0} \notin R ， x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 2 > 0$ C、 $\forall x \in R ， x_{}^{2} + 2 x + 2 \geq 0$ D、 $\forall x \in R ， x_{}^{2} + 2 x + 2 > 0$

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2. “ $a = 1$ ”是“关于 $x$ 的方程 $x^{2} + a = 2 x$ 有实数根”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知直线 $a ， b$ ，平面 $α$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $a ∥ b ， b \subset α$ ，则 $a ∥ α$ B、若 $a ⊥ α ， b ⊥ α$ ，则 $a ∥ b$ C、若 $a ∥ α ， b ∥ α$ ，则 $a ∥ b$ D、若 $a ∥ α ， b \subset α$ ，则 $a ∥ b$

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4. 两条平行直线 $3 x + 4 y - 12 = 0$ 与 $a x + 8 y + 11 = 0$ 间的距离为（）

A、 $\frac{13}{10}$ B、 $\frac{13}{5}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{23}{5}$

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5. 直线 $2 x - 3 y + 2 = 0$ 关于 $x$ 轴对称的直线方程为（）

A、 $2 x + 3 y + 2 = 0$ B、 $2 x + 3 y - 2 = 0$ C、 $2 x - 3 y - 2 = 0$ D、 $2 x - 3 y + 2 = 0$

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6. 已知双曲线一条渐近线方程为 $y = \frac{4}{3} x$ ，则双曲线方程可以是（）

A、 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

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7. 若圆 $C_{1} ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 8 x + 8 y + m = 0$ 相切，则 $m$ 等于（）

A、16 B、7 C、-4或16 D、7或16

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8. 已知曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{25 - k} + \frac{y^{2}}{k - 9} = 1$ ，给定下列两个命题：
$p$ ：若 $9 < k < 25$ ，则曲线 $C$ 为椭圆；
$q$ ：若曲线 $C$ 是焦点在 $x$ 轴上的双曲线，则 $k < 9$ .
那么，下列命题为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $p \land (\neg q)$ C、 $(\neg p) \land q$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

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9. 若直线 $\sqrt{3} x - y + m = 0$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - {(x - 3)}^{2}}$ 有公共点，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 5 \sqrt{3} ， 4 - 3 \sqrt{3}]$ B、 $[- 4 - 3 \sqrt{3} ， 4 - 3 \sqrt{3}]$ C、 $[- 4 - 3 \sqrt{3} ， - 5 \sqrt{3}]$ D、 $[- 5 \sqrt{3} ， - \sqrt{3}]$

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10. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、9 B、12 C、18 D、24

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11. 直线 $l ： y = \sqrt{3} x - 1$ 与圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 y - 3 = 0$ 相交于 $M ， N$ 两点，点 $P$ 是圆 $C$ 上异于 $M ， N$ 的一个点，则 $Δ P M N$ 的面积的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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12. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 $A ， B ， C ， D$ 四点，四边形 $A B C D$ 的面积为 $a b$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、4

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二、填空题

13. 过点 $(1 ， 1)$ 且与直线 $3 x + 4 y + 2 = 0$ 垂直的直线方程．

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14. 若函数 $f (x) = \frac{x^{2} + a}{e^{x}}$ 在 $x = 3$ 处取得极值，则 $a =$ ．

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15. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥 $A - B C D$ 是一个“鳖臑”， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $A C ⊥ C D$ ，且 $A B = \sqrt{2}$ ， $B C = C D = 1$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的表面积为．

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16. 设抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，过抛物线上点 $A (3 ， y_{0})$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$ .设 $C (\frac{7}{2} p ， 0)$ ， $A F$ 与 $B C$ 相交于点 $E$ .若 $| F E | = 2 | A E |$ ，则 $p$ 的值为．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + 3$ （其中 $a \in R$ ）.
（Ⅰ）当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线方程；
（Ⅱ）讨论 $f (x)$ 的单调性.

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18. 已知 $A$ 为圆 $Γ ： {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 16$ 上的动点， $B$ 的坐标为 $(- 4 ， 0)$ ， $P$ 在线段 $A B$ 的中点.
（Ⅰ）求 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程.
（Ⅱ）过点 $(- 1 ， 3)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，且 $| M N | = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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19. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的所有棱长均为2， $E$ 为 $C C_{1}$ 中点.

（Ⅰ）求证： $A_{1} C_{1} ∥$ 平面 $B E D_{1}$ ；
（Ⅱ）求证：平面 $B D D_{1} ⊥$ 平面 $B E D_{1}$ .

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20. 已知动圆 $M$ 过定点 $O$ 且与定直线 $l ： x = - 1$ 相切，动圆圆心 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .
（Ⅰ）求曲线 $C$ 的方程；
（Ⅱ）已知斜率为 $k$ 的直线 $l^{'}$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，且与曲线 $C$ 相切于点 $A$ ，设 $O A$ 的中点为 $Q$ （其中 $O$ 为坐标原点）.求证：直线 $P Q$ 的斜率为0.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $Δ P A B$ 、 $Δ A C D$ 、 $Δ P B C$ 均为等边三角形， $A B ⊥ B C$ .
（Ⅰ）求证： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；
（Ⅱ）若 $A B = 2$ ，求点 $D$ 到平面 $P B C$ 的距离.

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22. 已知椭圆 $Γ$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- 2 ， 0)$ ， $F_{2} (2 ， 0)$ ，且经过点 $P (\frac{5}{2} ， - \frac{3}{2})$ .
（Ⅰ）求椭圆 $Γ$ 的标准方程；
（Ⅱ） $Δ A B C$ 的顶点都在椭圆 $Γ$ 上，其中 $A 、 B$ 关于原点对称，试问 $Δ A B C$ 能否为正三角形？并说明理由.

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