2015-2016学年辽宁省葫芦岛市高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-11-30 类型：期末考试

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一、选择题

1. 为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4：3：2，现用分层抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为（）

A、50 B、45 C、40 D、20

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2. 已知x、y的取值如下表，从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为 $\hat{y}$ =0.7x+a，则a=（）
x
2
3
4
5
y
2.5
3
4
4.5

A、1.25 B、1.05 C、1.35 D、1.45

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3. 若抛物线y²=2px，（p＞0）上一点P（2，y₀）到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为（）

A、y²=4x B、y²=6x C、y²=8x D、y²=10x

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4. 设a，b∈R，则“（a﹣b）a²＜0”是“a＜b”的（　　）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 平行六面体ABCDA₁B₁C₁D₁中，向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A A_{1}}$ 两两的夹角均为60°，且| $\vec{A B}$ |=1，| $\vec{A D}$ |=2，| $\vec{A A_{1}}$ |=3，则| $\vec{A C_{1}}$ |等于（）

A、5 B、6 C、4 D、8

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6. 在空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ ﹣ $\frac{2}{3} \vec{b}$ + $\frac{1}{2} \vec{c}$ B、﹣ $\frac{2}{3} \vec{a}$ + $\frac{1}{2} \vec{b}$ + $\frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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7. 如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）

A、k=7 B、k≤6 C、k＜6 D、k＞6

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8. 若椭圆的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴长为2 $\sqrt{3}$ ，焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$

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9. 下列命题中错误的是（）

A、命题“若x²﹣5x+6=0则x=2”的逆否命题是“若x≠2则x²﹣5x+6≠0” B、命题“已知x、y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1是真命题” C、已知命题p和q，若p∨q为真命题，则命题p与q中必一真一假 D、命题p：∃x₀∈R，x₀²+x₀+1＜0，则￢p：∀x₀∈R，x₀²+x₀+1≥0

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10. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若线段AB的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{17} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{22}}{4}$

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11. 已知P为抛物线y²=4x上一个动点，Q为圆x²+（y﹣4）²=1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）

A、5 B、8 C、 $\sqrt{17}$ ﹣1 D、 $\sqrt{5}$ +2

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12. 已知直线l：y=ax+1﹣a（a∈R）．若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y=﹣2|x﹣1|；②y=x²；③（x﹣1）²+（y﹣1）²=1；④x²+3y²=4；则其中直线l的“绝对曲线”有（）

A、①④ B、②③ C、②④ D、②③④

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二、填空题

13. 以抛物线y²=4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线方程是．

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14. 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于1，则就有可能撞到玻璃上面不安全，若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于1，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是．

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15. 已知命题p：∃x∈R，x²+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围是．

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16. 如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为．

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三、解答题

17. 为了解我市高二年级进行的一次考试中数学成绩的分布状况，有关部门随机抽取了一个样本，对数学成绩进行分组统计分析如下表：

(1)、求出表中m、n、M，N的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图：
分组
频数
频率
[0，30）
3
0.03
[30，60）
3
0.03
[60，90）
37
0.37
[90，120）
m
n
[120，150）
15
0.15
合计
M
N

(2)、若我市参加本次考试的学生有18000人，试估计这次测试中我市学生成绩在90分以上的人数；

(3)、为了深入分析学生的成绩，有关部门拟从分数不超过60的学生中选取2人进行进一步分析，求被选中2人分数均不超过30分的概率．

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18. 一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片．

(1)、若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于8的概率；

(2)、若随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字3的概率．

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19. 在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，设AA₁=a．

(1)、求a的值；

(2)、求平面A₁BC₁与平面B₁BC₁所成的锐二面角的大小．

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20. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2 $\sqrt{3}$ ，E是PB上任意一点．

(1)、求证：AC⊥DE；

(2)、已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．

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21. 已知双曲线x²﹣2y²=2的左、右两个焦点为F₁、F₂ ，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4．

(1)、求动点P的轨迹E的方程；

(2)、设过F₂且不垂直于坐标轴的动直线l交轨迹E于A，B两点，问：线段OF₂上是否存在一点D，使得以DA，DB为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．

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22. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁ ， F₂为顶点的三角形的周长为 $4 (\sqrt{2} + 1)$ ．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．

(1)、求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)、设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂ ，证明k₁•k₂=1；

(3)、探究 $\frac{1}{| A B |} + \frac{1}{| C D |}$ 是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

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分组	频数	频率
[0，30）	3	0.03
[30，60）	3	0.03
[60，90）	37	0.37
[90，120）	m	n
[120，150）	15	0.15
合计	M	N

x	2	3	4	5
y	2.5	3	4	4.5