河南省2017-2018学年高三上学期理数高三一轮复习诊断调研联考联考试卷

试卷更新日期：2018-04-04 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $a \in R$ ，复数 $z = \frac{(a - i) (1 + i)}{i}$ ，若 $\bar{z} = z$ ，则 $a =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $2$ D、 $- 2$

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2. 已知集合 $M = {x | \frac{x - 3}{x - 1} \leq 0}$ ， $N = {x | y = {log}_{3} (- 6 x^{2} + 11 x - 4)}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[1, \frac{4}{3}]$ B、 $(\frac{1}{2}, 3]$ C、 $(1, \frac{4}{3})$ D、 $(\frac{4}{3}, 2)$

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3. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位： $℃$ ）的数据，绘制了下面的折线图。
已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）

A、最低气温与最高气温为正相关 B、10月的最高气温不低于5月的最高气温 C、月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月 D、最低气温低于 $0 ℃$ 的月份有4个

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} = \sqrt{2}$ ， $a_{3} = \sqrt[3]{4}$ ，则 $\frac{a_{1} + a_{15}}{a_{7} + a_{21}} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2$

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5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）

A、 $128 π$ 平方尺 B、 $138 π$ 平方尺 C、 $140 π$ 平方尺 D、 $142 π$ 平方尺

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6. 定义 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数， $(x) = x - [x]$ ，例如 $[2.1] = 2$ ， $(2.1) = 0.1$ ，执行如图所示的程序框图，若输入的 $x = 5.8$ ，则输出的 $z =$ （）

A、 $- 1.4$ B、 $- 2.6$ C、 $- 4.6$ D、 $- 2.8$

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7. 若对于任意 $x \in R$ 都有 $f (x) + 2 f (- x) = 3 cos x - sin x$ ，则函数 $f (2 x)$ 图象的对称中心为（）

A、 $(k π - \frac{π}{4} ， 0)$ （ $k \in Z$ ） B、 $(k π - \frac{π}{8} ， 0)$ （ $k \in Z$ ） C、 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{4} ， 0)$ （ $k \in Z$ ） D、 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{8} ， 0)$ （ $k \in Z$ ）

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8. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y \geq 0 ， \\ x + \frac{1}{3} y \leq 1 ， \\ y \geq 0 ， \end{matrix}$ 若 $z = - a x + y$ 取得最大值的最优解不唯一，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $2$ 或 $- 3$ B、 $3$ 或 $- 2$ C、 $- \frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{3}$ 或2

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9. 函数 $f (x) = \frac{x (e^{- x} - e^{x})}{4 x^{2} - 1}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A、 $20 + 12 \sqrt{2} + 2 \sqrt{14}$ B、 $20 + 6 \sqrt{2} +2 \sqrt{14}$ C、 $20+6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{34}$ D、 $20 + 12 \sqrt{2} + 2 \sqrt{34}$

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11. 设椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (1 ， 0)$ ，点 $A (- 1 ， 1)$ 为椭圆 $E$ 内一点，若椭圆 $E$ 上存在一点 $P$ ，使得 $| P A | + | P F | = 9$ ，则椭圆 $E$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $[\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{5} ， \frac{1}{4}]$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{2}{3}]$

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12. 已知函数 $f (x) = ln x + (2 e^{2} - a) x - \frac{b}{2}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，若不等式 $f (x) \leq 0$ 恒成立，则 $\frac{b}{a}$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{1}{e^{2}}$ B、 $- \frac{2}{e^{2}}$ C、 $- \frac{1}{e}$ D、 $- \frac{2}{e}$

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二、填空题

13. 在 $Δ A B C$ 中， $| \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C} | = | \overset{⇀}{A B} - \overset{⇀}{A C} |$ ， $| \overset{⇀}{A B} | = 2$ ，则 $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ ．

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14. 已知 $(1 + x) {(a - x)}^{6} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{7} x^{7}$ ， $a \in R$ ，若 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + \dots + a_{6} + a_{7} = 0$ ，则 $a_{3} =$ ．

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15. 已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时，恒有 $k a_{n} = a_{n} S_{n} - S_{n}^{2}$ 成立，若 $S_{99} = \frac{1}{50}$ ，则 $k =$ ．

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16. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线分别交于 $A$ ， $B$ ，且 $A (m, 18)$ 在第一象限，若 $Δ A B F_{2}$ 为等边三角形，则双曲线的实轴长为．

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三、解答题

17. 如图，在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c = 4$ ， $b = 2$ ， $2 c cos C = b$ ， $D$ ， $E$ 分别为线段 $B C$ 上的点，且 $B D = C D$ ， $∠ B A E = ∠ C A E$ ．

(1)、求线段 $A D$ 的长；

(2)、求 $Δ A D E$ 的面积．

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18. 某班为了活跃元旦晚会气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮游戏中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2，3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2，3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品.已知同学甲参加了该游戏.

(1)、求甲获得奖品的概率；

(2)、设 $X$ 为甲参加游戏的轮数，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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19. 如图，在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A B$ ， $A C$ 的中点， $B_{1} E ⊥$ 平面 $A B C$ ， $Δ A B_{1} C$ 是等边三角形， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $A C = 2 B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ .

(1)、证明： $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、求二面角 $A - B B_{1} - C$ 的正弦值．

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20. 已知抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，斜率为 $k$ 且过点 $M (3 ， 0)$ 的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} + 3 = 0$ ，其中 $O$ 为坐标原点．

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、设点 $N (- 3 ， 0)$ ，记直线 $A N$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $\frac{1}{k_{1}^{2}} + \frac{1}{k_{2}^{2}} - \frac{2}{k^{2}}$ 为定值．

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21. 已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{a x}$ （ $a \neq 0$ ），且 $x = \frac{2}{a}$ 是它的极值点．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[t - 1, t + 1]$ 上的最大值；

(3)、设 $g (x) = f (x) + 2 x + 3 x ln x$ ，证明：对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, 1)$ 都有 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | < \frac{2}{e^{3}} + \frac{3}{e} + 1$ ．

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t - \sqrt{3} \\ y = k t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），直线 $l_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{3} - m \\ y = \frac{m}{3 k} \end{matrix}$ （ $m$ 为参数），设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $P$ ，当 $k$ 变化时， $P$ 的轨迹为曲线 $C_{1}$ .

(1)、写出 $C_{1}$ 的普遍方程及参数方程；

(2)、以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ + \frac{π}{4}) = 4 \sqrt{2}$ ， $Q$ 为曲线 $C_{1}$ 上的动点，求点 $Q$ 到 $C_{2}$ 的距离的最小值.

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23. 已知 $f (x) = | x + a |$ （ $a \in R$ ）．

(1)、若 $f (x) \geq | 2 x + 3 |$ 的解集为 $[- 3 ， - 1]$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若对任意 $x \in R$ ，不等式 $f (x) + | x - a | \geq a^{2} - 2 a$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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