31.3 相似三角形的应用—人教版新教材九年级下册同步分层练习

试卷更新日期：2026-11-13 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 如图所示，树AB 在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高. $P O = 5 m,$ 树影AC=3m，树AB与路灯O的水平距离AP=4.5m，则树的高AB是（ )

A、2m B、3m C、 $\frac{3}{2} m$ D、 $\frac{10}{3} m$

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2. 如图，这是某平台销售的折叠椅子的示意图，CD与地面AB平行，已知OF＝30 cm，GF＝50 cm，若AB＝40 cm，则CD的长是(　　)

A、30 cm B、 $\frac{80}{3}$ cm C、20 cm D、 $\frac{25}{4}$ cm

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3. 如图甲所示，长、宽均为3，高为8的长方体容器放在水平桌面上，里面盛有水，水面高度为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图乙是此时情景的平面示意图，则水面的高度为（ )

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、 $\frac{12 \sqrt{34}}{17}$ D、 $\frac{20 \sqrt{34}}{17}$

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4. 如图，河对岸有一灯杆 $A B$ ，在灯光下，小明在点 $D$ 处测得自己的影长 $D F = 2 m$ ，沿 $B D$ 方向前进到达点 $F$ 处测得自己的影长 $F G = 2.5 m$ ．设小明的身高为 $1.5 m$ ，则灯杆 $A B$ 的高度为（　　）

A、 $7.5 m$ B、 $6.4 m$ C、 $8 m$ D、 $12 m$

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5. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1寸=0.1尺），问井深几何．”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，由题意画出示意图，如图所示，则井深尺．

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6. 如图，这是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕点C转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知AC与BC之比为5：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压cm．

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7. 受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽 $A B$ ．如图，从B处沿与 $A B$ 垂直的直线方向走 $45 m$ 到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走 $20 m$ 到达D处，再右转 $90 °$ 走到E处，使点A ， C ， E恰好在同一条直线上，此时量得 $D E = 32 m$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ E D C$ ．

(2)、求河宽 $A B$ 的长．

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二、能力提升

8. 圆桌正上方的灯泡(看成一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(如图)．已知桌面的直径为1.2m．桌面距离地面0.9m，灯泡距离地面2.7m，则地面上阴影部分的面积为（）．

A、0.36πm² B、0.81πm² C、2πm² D、3.24πm²

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9. 学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D．若AO=4 m，AB=1.6 m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）．

A、0.2m B、0.3m C、0.4m D、0.5m

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10. 如图所示，某零件的外径为 $10 c m$ ，用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果 $O A ： O C = O B ： O D = 3$ ，且量得 $C D =$ $3 c m$ ，则零件的厚度 $x$ 为（）.

A、 $0.3 c m$ B、 $0.5 c m$ C、 $0.7 c m$ D、 $1 c m$

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11. 如图，在测量小玻璃管口径的量具ABC．上，AB的长为14 mm，AC被分为70等份．如果小管口DE正好对着量具40刻度线上处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是mm．

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12. 如图，网球的网高0.9m，小王站在离网10m处击打网球，要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h为.

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13. 如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度 $A B ．$
【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为 $B E$ ，同一时刻小明站在地面上的点 $D$ 处时，小明影子的顶端也在E处，在地面上的 $F$ 处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿 $B E$ 移动至点 $H$ 处时，恰好从平面镜 $F$ 中看到崇文塔的顶端 $A$ ；
【测量数据】经过测量可知 $C D = G H = 1.6 m$ ， $D E = 2 m$ ， $D F = 57 m$ ， $F H = 3 m$ ．已知点 $B 、 D 、 E 、 F 、 H$ 在同一条直线上，且 $A B ⊥ B H$ ， $C D ⊥ B H$ ， $G H ⊥ B H$ ，请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度 $A B$ ．

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14. 如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O，A，B，C，D在同一条直线上)．测得AC=2m，BD=2.1 m，小明的眼睛距地面高度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．

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三、拓展创新

15. 如图，一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高线长为22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）．

A、第4张 B、第5张 C、第6张 D、第7张

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16. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B(A，B两点到路灯正下方的距离相等)，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化.

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、作出函数的大致图象.

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17. 数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图1，把一个含45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连结MN，可得△CMN.

(1)、[探究一]如图2，把△CDM绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH，点H在直线AB上.求证：∠CNM=∠CNH.

(2)、[探究二]在图2中，连结BD，分别交CM，CN于点E，F.求证：△CEF∽△CNM.

(3)、[探究三]把三角尺旋转到如图3所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别相交于点.E，F，连结AC交BD于点O，求 $\frac{E F}{M N}$ 的值.

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