31.2.3 相似三角形的性质—人教版新教材九年级下册同步分层练习

试卷更新日期：2026-11-13 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 若△ABC∽△DEF，AB： DE=1： 3，则对应边上的高之比是（ )

A、1： 3 B、1： 6 C、1： 9 D、1： 12

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2. 若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：3，则S_△ABC：S_△DEF为（　　）

A、1：3 B、1：9 C、1： $\sqrt{3}$ D、2：6

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3. 对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（）

A、各个内角的大小始终保持不变 B、各条边的长度始终保持不变 C、三角形的面积始终保持不变 D、三角形的周长始终保持不变

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4. 如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD相交于点F，S_△_DEF：S_△_ABF＝1：9，则DE：DC＝（）

A、3：1 B、1：2 C、2：3 D、1：3

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5. 如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为．

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6. 如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是。

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7. 如图，一架无人机在高30m的点M 处可探测到的水平地面区域的宽度AB=80m，再垂直上升15 m，到达点 N 处，可探测到的水平地面区域的宽度为 CD，已知∠AMB=∠CND，MA=MB，NC=ND，则CD=m.

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8. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边AB，AC与网格线的交点，连接DE，则 DE的长是.

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9. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ ， $B D$ 相交于点E，点F在 $B D$ 上，且 $∠ B A F = ∠ D B C$ ， $\frac{A B}{A F} = \frac{B C}{F D}$ ．

(1)、求证： $△ A B C ∽ △ A F D$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ， $B C = 5$ ， $△ A D E$ 的面积为4，求 $△ B C E$ 的面积．

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二、能力提升

10. 如图，点D，E分别是边 $A B ， A C$ 的中点，下列结论中不正确的是（）

A、 $D E = \frac{1}{2} B C$ B、 $\frac{A D}{B D} = \frac{D E}{B C}$ C、 $△ A D E$ 的周长 $= \frac{1}{2} △ A B C$ 的周长 D、 $△ A D E$ 的面积 $= \frac{1}{3}$ 四边形 $B C E D$ 的面积

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11. 如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，、右 $\frac{A D}{B D} = \frac{1}{2},$ 下列结论中，错误的是（ )

A、 $\frac{D E}{B C} = \frac{1}{3}$ B、 $\frac{△ A D E 的周长}{△ A B C 的周长} = \frac{1}{3}$ C、 $\frac{△ A D E 的面积}{△ A B C 的面积} = \frac{1}{3}$ D、 $\frac{△ C D E 的面积}{△ B C D 的面积} = \frac{1}{3}$

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12. 如图，△ABC是面积为27cm²的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（）

A、9cm² B、8cm² C、6cm² D、12 cm²

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13. 如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为 $9 cm$ ， $15 cm$ ．若 $C D$ 长为 $6 cm$ ，则 $A B$ 长为（）

A、 $\frac{15}{2}$ cm B、 $\frac{15}{4}$ cm C、10cm D、 $\frac{18}{5}$ cm

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D = 2 B D, A E = 2 C E$ ，则 $\frac{A D + A E + D E}{A B + A C + B C}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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15. 如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个阴影小三角形的面积S₁ ， S₂ ， S₃分别是1，4和16，则△ABC的面积是．

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16. 如图，在菱形ABCD 中，点E在AD上，连结BE，作点A 关于直线BE对称点A'，连结A'E 交BD 于点 F，若点A' 恰为CD 的中点，则△BEF与△ABE 的面积比为.

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17. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中， $B$ ， $E$ ， $C$ ， $F$ 在同一条直线上， $A C$ 与 $D E$ 相交于点 $M$ ．下面给出四个关系：① $A B = D E$ ；② $A C = D F$ ；③ $∠ A B C = ∠ D E F$ ；④ $B E = C F$ ．

(1)、任选三个关系作为已知条件，余下一个作为结论，构成一个真命题（用序号表示），并证明．

(2)、在（1）条件下，当 $△ E M C$ 的面积是 $△ D E F$ 面积的一半时，若 $B C = 2$ ，求 $B E$ 的长度．

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18. 如图，地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定两个目标点A ， B ，再在他们所在的这一侧选点C ， D ， E ，使得点D在线段 $A C$ 上，点E在线段 $B C$ 上，且 $D E ∥ A B$ ．测得 $A B = 12 m ， D E = 4 m$ ，点C到 $D E$ 的距离 $C F = 6 m$ ，请你计算出这条河的宽度．

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19. 如图，在△ABC中， D， E分别为BC，AC上的点，连结DE。若 $\frac{C D}{C A} = \frac{C E}{C B} = \frac{3}{5},$ DE=6，

(1)、求AB的长。

(2)、若△CDE的面积为18，请求出△ABC 的面积：

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20. 如图，矩形 $A B C D$ 是由三个全等矩形拼成的， $A C$ 与 $E B 、 E F 、 H F 、 H G 、 D G$ 分别相交于点 $I 、 J 、 K 、 L 、 M$ ．设 $△ L G M 、 △ J K F 、 △ A B I$ 的面积依次为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，若 $S_{3}$ 的面积为 $27$ ，则 $S_{2} - S_{1}$ 的值为．

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三、拓展创新

21. 如下图，点A在反比例函数 $y＝ \frac{k_{1}}{x} （x＞0）$ 的图象上，过A分别作x轴、y轴的平行线，与反比例函数 $y＝ \frac{k_{2}}{x} （x＞0）$ 的图象相交于点B，C，过C作x轴的平行线，与反比例函数 $y＝ \frac{k_{1}}{x}$ 的图象相交于点D （其中k₁ ， k₂为常数，且 $k_{1} ＞ k_{2} ＞0）.$

(1)、若点A（3，5）， AB＝2，则 $k_{2} ＝____________.$

(2)、若点A的横坐标为2，且△ABC∽△CAD，求k₁与k₂之间的数量关系.

(3)、延长CB，DA相交于点P，当点A在函数图象上运动时，△PCD的面积是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

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22.

(1)、【问题提出】
如图①，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是边 $A B$ 上的点， $E$ 是边 $A C$ 上的点，连接 $B E, C D$ 交于点 $F$ ，若 $\frac{A D}{D B} = \frac{C E}{A E} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{E F}{B F}$ 的值．
猜想证明：小明想过点 $E 作 E G ∥ A B 交 C D$ 于点 $G$ ．请你根据他的思路，写出解答过程．

(2)、【问题探究】
如图②，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是边 $A B$ 上的点，点 $E$ 是边 $C A$ 延长线上的点，连接 $B E, C D, B E 交 C D$ 的延长线于点 $F$ ．若 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{A C} = \frac{1}{2}$ ，且 $△ A C D$ 的面积为2，求四边形 $A D F E$ 的面积．

(3)、【问题解决】
如图③，某市区需要改造一个矩形公园 $A B C D$ ，其中两个门的位置点 $E, F$ 分别在边 $B C, C D$ 上， $A B = 3$ 千米， $A D = 6$ 千米，根据改造要求，需要增加步行通道 $D E$ ，且 $D E$ 与原步行通道 $A F, B F$ 交于点 $P, Q$ ，将 $P Q$ 改造为休息长廊，由设计图知 $C F = 2 D F, C E = 2 B E$ ，求休息长廊 $P Q$ 的长．

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