31.1 图形的相似—人教版新教材九年级下册同步分层练习

试卷更新日期：2026-11-13 类型：同步测试

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一、夯实基础

1. 在下列四个命题中：①所有等腰直角三角形都相似：②所有矩形都相似：③所有正方形都相似：④所有菱形都相似，其中真命题有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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2. 已知a，b，c，d成比例线段.若a=5cm，b=10cm，d=12cm，则c的长为（）

A、2.5cm B、4cm C、6cm D、24cm

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3. 鸡兔同笼，鸡有x只，兔有y只．如果其中鸡脚总数与兔脚总数正好一样多，则 $\frac{x}{y}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{1}{3}$

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4. 下列选项中，是相似图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（）

A、轴对称变换 B、平移变换 C、相似变换 D、旋转变换

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6. 一个75°的角，在10倍的放大镜下来看是度.

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7. 如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则∠D= ．

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8. 如图，已知点 $D 、 E$ 在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 和 $A C$ 上， $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ ， $A D = 10$ ， $B D = 5$ ， $A E = 6$ ，则 $A C =$ ．

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9. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 $10 \times 10$ 网格中， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，直线 $l$ 经过 $A, C$ 两点．

(1)、四边形 $A B C D$ 是一个轴对称图形，其对称轴为直线 $l$ ，请将四边形 $A B C D$ 补充完整；

(2)、将 $△ A B C$ 缩小后得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ （点 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ 均在格点上），则 $A B$ 与 $A^{'} B^{'}$ 的比值为______．

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二、能力提升

10. 某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（）

A、 $A B$ 的长度 B、 $∠ F A B$ 的度数 C、六边形 $A B C D E F$ 的面积 D、六边形 $A B C D E F$ 的周长

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11. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点F 为边CD上一点，且FE⊥AB交AB 于点E，若AD=2，BC=8，四边形 AEFD∽四边形 EBCF，则 $\frac{D F}{F C}$ 的值是( ).

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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12. 下列选项中的矩形与图中的矩形不是相似形的是( ).

A、 B、 C、 D、

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13. 如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，P是BC边上一点，连接DP，作AH⊥DP于点H，作BE⊥AH于点E，作CF⊥BE，交BE的延长线于点F，交DP于G.当AE：EH=3：1，矩形ABCD∽矩形EHGF时，BF：FE的值为 .

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14. 如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形 $A B C D$ ，当以矩形 $A B C D$ 的宽 $A B$ 为边作正方形 $A B E F$ 时，发现矩形 $D F E C ∽$ 矩形 $A B C D$ ，则 $\frac{D F}{A F}$ 的值为．

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15. 已知a， b， c为△ABC的三边长，且a+b+c=27， $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4},$ 求△ABC三边的长.

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16. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E，F分别在边 $B C, A D$ 上，连接 $A E, B F$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ ， $C E = D F$ ．

(1)、求证： $A E ⊥ B F$ ；

(2)、若 $A F = 4$ ，四边形 $A B C D$ 与四边形 $C E F D$ 相似，求 $C E$ 的长．

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三、拓展创新

17. 阅读理解：
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体.
如图所示，甲、乙是两个大小不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比 $\frac{a}{b}$ .
设S甲，S_乙分别表示这两个正方体的表面积，则 $\frac{S_{甲}}{S_{乙}} = \frac{6 a^{2}}{6 b^{2}} = {(\frac{a}{b})}^{2} .$ 又设V甲，Vz分别表示这两个正方体的体积，则 $\frac{V_{甲}}{V_{乙}} = \frac{a^{3}}{b^{3}} = {(\frac{a}{b})}^{3} .$

(1)、下列几何体中，一定属于相似体的是( )

A、两个球体 B、两个圆锥体 C、两个圆柱体 D、两个长方体

(2)、请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段(或弧)的比等于；②相似体表面积的比等于；③相似体体积的比等于

(3)、假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一个人的身体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为1.1m ，体重为 18 kg.到了九年级时，身高为1.65m，则他的体重是多少(不考虑不同时期人体平均密度的变化)?

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18. 综合与实践

学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下：

活动任务	设计数学文化节展板
成员	组长： $\times \times \times$ 组员： $\times \times \times, \times \times \times, \times \times \times$
基本信息	有两张标准矩形 $KT$ 板（一种制作展板的常用材料），尺寸为 $120 cm \times 240 cm$ ．
版面规划	用矩形 $A B C D (A B < B C)$ 表示整张 $KT$ 板．展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为 $a cm$ 的空白，左右边缘各留宽为 $b cm$ 的空白，中间（即矩形 $E F G H$ ）为图案区域．展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为 $a cm$ 的空白，左右边缘各留宽为 $b cm$ 的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为 $b cm$ ．
问题解决	确定版面图案区域的具体信息，如下： ……

(1)、根据版面规划，若展板一中

a = 10

，且图案区域与整块展板相似（即矩形

E F G H ∽

矩形

A B C D)

，求

b

的值；

(2)、根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形

M N G H ∽

矩形

A B C D

），则

\frac{a}{b}

的值为___________．

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