人教版九年级下数学进阶测试 31.2.2相似三角形的判定（进阶）

试卷更新日期：2026-11-12 类型：同步测试

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一、选择题：本8题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 我们把顶角为 $36 °$ 的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ．如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 36 °$ ， $A B = A C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，若 $B C = 4$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{5} - 2$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $2 \sqrt{3} - 2$ D、 $2 \sqrt{3} + 2$

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2. 如图，在△ABC纸片中，∠A＝72°，∠B＝38°．将△ABC纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与△ABC相似的是（）

A、①② B、②④ C、③④ D、①③

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3. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中： ①∠AED=∠B；②DE∥BC； $③ \frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B};$ ④AD·BC=DE·AC；⑤∠ADE=∠C，能使得以A， D， E为顶点的三角形与△ABC相似的条件有 ( )

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（）

A、∠B+∠4=180° B、CD∥AB C、∠1=∠4 D、∠2=∠3

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5. 如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD 相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA：OC=OD：OB，则下列结论中一定正确的是( ).

A、只有①与③相似 B、只有②与④相似 C、①与③相似且②与④相似 D、没有相似三角形

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6. 如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△A^'BC^'的位置，AC与A^'C^'交于点E，AC与BC^'交于点F，则下列结论不一定正确的是（）

A、AE=EF B、∠ABA^'=∠CBC^' C、△ABC≌△A^'BC^' D、△BCF∽△EC^'F

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7. 如图，已知∠1=∠2，添加下列条件后，仍无法判定ABC∽△ADE的是（）

A、 $\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A E}$ B、 $∠ B = ∠ D$ C、 $∠ C = ∠ A E D$ D、 $\frac{A B}{A D} = \frac{B C}{D E}$

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8. 如图，在正方形ABCD 中， △BPC 是等边三角形， BP， CP的延长线分别交AD于点 E， F，连接BD， DP， BD 与CF相交于点H，给出下列结论： ①BE=2AE； ②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB； ④DP²=PH·PC.其中正确的是( )

A、①②③④ B、②③ C、①②④ D、①③④

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

9. 某品牌的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度 $A B$ 与从轮子底部到拉杆顶部的高度 $C D$ 之比满足黄金分割（即 $\frac{A B}{C D} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ），已知 $C D = 25 (\sqrt{5} + 1) cm$ ，则 $A B$ 的长为cm．

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10. 如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，要使△ADE∽△ACB，需添加一个条件是.(只要写一个条件)

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 的顶点A，D的坐标为 $A (1, 0)$ ， $D (0, 2)$ ， $B D ∥ x$ 轴，若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象经过矩形对角线的交点E，则k的值为．

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12. 如图，在平面直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2).若点 C 在x 轴上，则当点 C的坐标为时，△BOC∽△AOB.

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13. 如图，AB与CD 相交于点O，连结 BD，AC，AD，CB，延长AD，CB 交于点 P，且∠OAD=∠OCB，则图中的相似三角形有对.

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三、解答题：本大题共2小题，共11分，14题5分，15题6分

14. 如图，点E，F 分别在正方形ABCD的边BC，CD上，AB=4，CF=1，点 E 是BC的中点.

(1)、求证：△ABE∽△ECF；

(2)、△ABE 与△AEF 相似吗? 请说明理由.

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15. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图像经过点 $A (2, 3)$ ，一次函数 $y = m x + n$ 的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点 $B (0, 4)$ ，与x轴交于点C．

(1)、求反比例函数与一次函数的表达式．

(2)、现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段 $A D$ 交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中， $△ P M N$ 与 $△ O B C$ 是否总相似，并说明理由．

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