人教版九年级数学下册第三十一章相似单元测试

试卷更新日期：2026-11-11 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若△ABC∽△DEF，AB： DE=1： 3，则对应边上的高之比是（ )

A、1： 3 B、1： 6 C、1： 9 D、1： 12

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2. 如图提琴模型，点P是AB的黄金分割点，即满足 $\frac{B P}{A P} = \frac{A P}{A B},$ 若AB=4，则AP的长为（ )

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{5} + 1$ C、 $2 \sqrt{5} + 2$ D、 $2 \sqrt{5} - 2$

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3. 如图， $∠ A = ∠ B = 90^{\circ}$ ， $E$ 为 $A B$ 上一点，连接 $D E$ ，过点 $C$ 作 $D E$ 的垂线交 $E D$ 的延长线于点 $G$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ，且 $A D = 4$ ， $D E = 5$ ， $C F = 6$ ，则 $A B$ 的长为 $($ $)$ ．

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{22}{5}$ C、 $\frac{18}{5}$ D、 $5$

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4. 选项中的阴影三角形与△ABC相似的为（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图， $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C ， ∠ A = 36 °$ ．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于 $\frac{1}{2} F G$ 的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径作弧，两孤相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：① $∠ A E D = ∠ A B C$ ；② $B C = A E$ ；③ $E D = \frac{1}{2} B C$ ；④当 $A C = 2$ 时， $A D = \sqrt{5} - 1$ ．其中正确结论的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $M$ ， $N$ ，再分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧在 $∠ B A C$ 的内部相交于点 $P$ ，画射线 $A P$ 与 $B C$ 交于点 $D$ ，作 $D F ∥ A B$ 交 $A C$ 于 $F$ ， $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ， $D F = 5$ ， $D E = 4$ ．则下列结论错误的是（）

A、 $C D = 4$ B、 $B E = \frac{16}{3}$ C、 $B D = \frac{10 \sqrt{2}}{3}$ D、 $A D = 4 \sqrt{5}$

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7. 如图，在边长为 $6$ 的正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ，以点 $E$ 旋转中心将线段 $A E$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $F E$ ，连接 $A F$ ， $F E$ 交边 $C D$ 于点 $G$ ， $H$ ，则 $G H$ 的长为（）．

A、 $3$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $2$ D、 $\frac{3}{2}$

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8. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为2，则新三角形与原三角形相似．
乙：将矩形按图2的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为2，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是( )

A、甲对，乙错 B、甲错，乙对 C、甲乙都对 D、甲乙都错

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二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

9. 如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，点E在AD上，且DE=DC，F为AC中点，且∠BEC=∠AEF，若BC=2AE， BE=6，则EF=.

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10. 如图，四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，若
OA： OA' =2： 3，四边形ABCD 的面积为8，那么四边形A'B'C'D'面积为

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11. 如图， $D$ 、 $E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上的点，且 $D E ∥ B C$ ， $B E$ 、 $C D$ 相交于点 $O$ ，若 $S_{△ D O E} : S_{△ D O B} = 1 : 3$ ，则 $\frac{D E}{B C} =$ ．

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12. 如图，乐器上的一根弦 $A B = 80 c m$ ，两个端点 $A ， B$ 固定在乐器板面上，支撑点 $C$ 是靠近点 $B$ 的黄金分割点，支撑点 $D$ 是靠近点 $A$ 的黄金分割点，则 $C ， B$ 两点之间的距离为．

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13. 如图，在中，是上（不与B ， C重合）一动点，，交于点E ，下列结论：①；②；⑤当时，；④为直角三角形，为4或．其中正确的结论是．（把你认为正确结论序号都填上）

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三、解答题：本大题共8小题，共75分。

14. 如图是凸透镜成像示意图，蜡烛AB 通过凸透镜MN所成的像是CD，点O是凸透镜的中心，光线AE∥BO，点F是凸透镜的焦点，已知焦距OF的长为10cm，蜡烛AB的长为8cm，点D，B，O，F在同一条直线上.

(1)、如图1，当蜡烛AB通过该凸透镜成正立放大的虚像CD时，若OB=6cm.
（i) 填空： $\frac{C A}{C O}$ 的值为 ▲ ；
（ii)求此时虚像 CD的高度；

(2)、如图2，当蜡烛AB 通过该凸透镜成倒立缩小的实像CD，且 $C D = \frac{3}{4} A B$ 时，求此时物距OB的长.

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15. 在如图的方格纸中， $△ O_{1} A_{1} B_{1}$ 与△OAB 是关于点 P为位似中心的位似图形.

(1)、在图中标出位似中心P 的位置；

(2)、以原点O为位似中心，在第三象限画出△OAB 的一个位似 $△ O A_{2} B_{2}$ ，使它与△OAB 的位似比为2： 1.

(3)、已知 $S_{△ O A B}$ 的面积为2.5，则 $△ O A_{2} B_{2}$ 的面积.

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16. 如图，在 $△ P B D$ 中， $P O$ 平分 $∠ B P D$ ， $D E ⊥ P O$ 交 $P O$ 延长线于点E ， $∠ E D B = ∠ E P B$ ，以 $O B$ 为半径的 $⊙ O$ 交 $B D$ 于点A ，已知 $P B = 6$ ， $D B = 8$ ．

(1)、求证： $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、求 $⊙ O$ 的半径．

(3)、连接 $B E$ ，求 $B E$ 的长．

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17. 如图，一次函数 $y = 3 x + 9$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象交于点 $C (n, 12)$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、连接 $O C$ ，点 $P$ 是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点 $C$ 重合），过点 $P$ 作 $P Q ∥ x$ 轴，交线段 $O C$ 于 $Q$ ．若 $\frac{C Q}{C O} = \frac{1}{4}$ ，求点 $P$ 的坐标．

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18. 如图， BD 为菱形ABCD 的对角线，过点A作AE⊥BC，垂足为点E， AE交BD 于点F，过点A 作AB 的垂线交 BD 于点 G，过点 G作 GH⊥AE，垂足为点H.

(1)、求证： AB=GH+BE；

(2)、若GH=2AH，求 $\frac{F H}{F E}$ 的值.

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19. 综合与探究
如图①，将矩形 $A B C D$ 纸片沿着对称轴剪开，得到两个全等的矩形 $A B N M$ 和矩形 $M N C D$ ，其中 $A B = 10$ ， $A D = 12$ ，固定矩形 $M N C D$ ，将矩形 $A B N M$ 绕点 $N$ 顺时针旋转得到矩形 $N B A M^{'}$ ．

(1)、如图②，在矩形 $A B N M$ 旋转的过程中，当 $A$ 与 $D$ 重合时， $B D$ 交 $M N$ 于点 $E$ ， $N M^{'}$ 交 $C D$ 于点 $F$ ，则四边形 $D E N F$ 的形状是____________；

(2)、如图③，当 $M^{'}$ 在 $C D$ 上时， $A M^{'}$ 交 $M D$ 于点 $G$ ，求 $G D$ 的长；

(3)、在矩形 $A B N M$ 旋转的过程中，是否存在点 $A$ 在 $C D$ 的右侧，且 $△ A C D$ 是以 $A$ 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出此时 $\frac{A C}{A D}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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20. 【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层（最底层）杯子的个数x的变化而变化．
【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示(如图3)，再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【解决问题】
第一层杯子的个数x
1
2
3
4
5
…
杯子的总数y
1
3
6
10
15
…

(1)、直接写出y与x的关系式：

(2)、现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数：

(3)、如图4所示，O处为点光源， $N D ， M A$ 分别为杯子上、下底面圆的半径， $O A = 24 cm ， O D = 15 cm ， M A = 4 cm$ ．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过 $80cm$ ．求：
①杯子最多能叠放多少层和此时杯子的总数：
②此时叠放达到的最大高度．

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第一层杯子的个数x	1	2	3	4	5	…
杯子的总数y	1	3	6	10	15	…

人教版九年级数学下册第三十一章 相似 单元测试

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。

三、解答题：本大题共8小题，共75分。

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