高中数学人教版选修2-1（理科）第二章圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质

试卷更新日期：2018-04-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1 (a > 0)$ 的离心率为 $2$ ，则实数 $a$ 等于（）

A、 $2$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $1$

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2. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm x$

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3. 双曲线 $3 m y^{2} - m x^{2} = 3$ 的一个焦点是 $(0, 2)$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、－2 D、2

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4. 已知双曲线的中心在原点，焦点在 $y$ 轴上，焦距为 $4$ ，点 $(1, - \sqrt{3})$ 在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的方程为（）

A、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{3} - x^{2} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{12} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

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5. 设 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的左，右焦点， $P$ 是双曲线上的一点， $3 | P F_{1} | = 4 | P F_{2} |$ ，则△ $P F_{1} F_{2}$ 的面积等于（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $8 \sqrt{3}$ C、 $24$ D、 $48$

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6. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点为 $F (2 \sqrt{2}, 0)$ ，且双曲线的渐近线与圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 3$ 相切，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{13} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{13} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{6} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$

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7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，其一条渐近线方程为 $y = x$ ，点 $P (\sqrt{3}, y_{0})$ 在双曲线上，则 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} =$ （）

A、 $- 12$ B、 $- 2$ C、 $0$ D、 $4$

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8. 设 $A_{1}, A_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右顶点，若双曲线上存在点 $M$ 使得两直线斜率 $k_{M A_{1}} \cdot k_{M A_{2}} < 2$ ，则双曲线 $C$ 的离心率的取值范围为（）

A、 $(1, \sqrt{2})$ B、 $(1, \sqrt{3})$ C、 $(\sqrt{3}, + \infty)$ D、 $(1, 2)$

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二、填空题

9. 若方程 $\frac{x^{2}}{k - 1} + \frac{y^{2}}{k - 3} = 1$ 表示双曲线，则实数 $k$ 的取值范围是．

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{m - 3} = 1$ 的一个焦点 $F$ 到其一条渐近线的距离为 $3$ ，则实数 $m$ 的值是．

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11. 若点 $P$ 是以 $F_{1}, F_{2}$ 为焦点的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上一点，满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ， $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则双曲线的离心率为.

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三、解答题

12. 中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 16$ 相切．

(1)、求双曲线的离心率；

(2)、 $P (3, - 4)$ 是渐近线上一点， $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线的左，右焦点，若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，求双曲线的方程．

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13. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一个焦点为 $F (\sqrt{3}, 0)$ ，实轴长为 $2$ ，经过点 $M (2, 1)$ 作直线 $l$ 交双曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点，且 $M$ 为 $A B$ 的中点．

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求直线 $l$ 的方程．

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14. 已知双曲线的中心在原点，焦点 $F_{1}, F_{2}$ 在坐标轴上，离心率为 $\sqrt{2}$ ，且过点 $(4, - \sqrt{10})$ ，点 $M (3, m)$ 在双曲线上．

(1)、求双曲线方程；

(2)、求证： $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ；

(3)、求△ $F_{1} M F_{2}$ 的面积．

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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