高中数学人教版选修2-1（理科）第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质

试卷更新日期：2018-04-03 类型：同步测试

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一、选择题

1. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的焦距是（）

A、 $3$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $10$

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2. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为 $6$ ，一个焦点的坐标是 $(\sqrt{3}, 0)$ ，则椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1$ C、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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3. 曲线 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与曲线 $\frac{x^{2}}{25 - k} + \frac{y^{2}}{9 - k} = 1 (k < 9)$ 的（）

A、长轴长相等 B、短轴长相等 C、焦距相等 D、离心率相等

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4. 方程 $\frac{x^{2}}{k - 4} + \frac{y^{2}}{10 - k} = 1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $(4, 7)$ C、 $(4, 10)$ D、 $(7, 10)$

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5. 椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{k} = 1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $k$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $3$ 或 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{19}{25}$ 或 $21$

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6. 已知直线 $y = - x + 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，若椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为 $2$ ，则线段 $A B$ 的长是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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7. 设椭圆的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 $P$ ，若△ $F_{1} P F_{2}$ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} - 1$

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8. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若椭圆上存在点 $P$ 使得 $∠ F_{1} P F_{2}$ 是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, 1)$

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二、填空题

9. 椭圆 $3 x^{2} + 4 y^{2} = 12$ 的离心率为.

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10. 短轴长为 $2 \sqrt{5}$ ，离心率 $e = \frac{2}{3}$ 的椭圆的两焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线交椭圆于 $A$ 、 $B$ 两点，则△ $A B F_{2}$ 周长为．

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11. 如图， $A B$ 是椭圆的长轴，点 $C$ 在椭圆上，且 $∠ C B A = \frac{π}{4}$ ，若 $A B = 4 ， B C = \sqrt{2} ，$ 则椭圆的两个焦点之间的距离为.

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三、解答题

12. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)、长轴长是短轴长的 $3$ 倍，且过点 $(3, - 1)$ ；

(2)、椭圆过点 $(3, 0)$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

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13. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为 $2$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知椭圆 $C$ 与直线 $x - y + m = 0$ 相交于不同的两点 $M, N$ ，且线段 $M N$ 的中点不在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 内，求实数 $m$ 的取值范围．

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14. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，其离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，点 $P$ 为椭圆上的一个动点，△ $P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $4 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若 $A, B, C, D$ 是椭圆上不重合的四个点， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $F_{1}$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{B D} = 0,$ 求 $| \vec{A C} | + | \vec{B D} |$ 的取值范围.

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一、选择题

二、填空题

三、解答题

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