浙教版数学七年级上册 6.7 角的和差三阶训练

试卷更新日期：2026-11-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图， $∠ A O B = 120 °$ ，在 $∠ A O B$ 内作两条射线 $O C$ 和 $O D$ ，且 $O M$ 平分 $∠ A O D ， O N$ 平分 $∠ B O C$ ，若 $∠ A O C : ∠ C O D : ∠ D O B = 5 : 3 : 4$ ，则 $∠ M O N$ 的度数为（　　）

A、 $45 °$ B、 $50 °$ C、 $55 °$ D、 $60 °$

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2. 如图所示， $∠ A O B$ ， $∠ C O D$ 都是以O为顶点的直角，下列结论：① $∠ A O C = ∠ B O D$ ；② $∠ A O C + ∠ B O D = 90 °$ ；③ $∠ A O D + ∠ B O C = 180 °$ ；④若 $O C$ 平分 $∠ A O B$ ，则 $O B$ 平分 $∠ C O D$ ；⑤ $∠ A O D$ 与 $∠ C O B$ 的平分线是同一条射线．以上结论正确的有（）

A、①②④⑤ B、①③④⑤ C、①②③④ D、①②③⑤

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3. 如图，在同一平面内， $∠ A O B = ∠ C O D = 90 °$ ， $O F$ 平分 $∠ A O D$ ，点E为OF反向延长线上一点，点H为OC反向延长线上一点，给出下列四个结论：① $∠ A O C = ∠ B O D$ ；② $∠ A O D + ∠ B O C = 180 °$ ；③ $∠ B O C - ∠ A O D = 90 °$ ；④ $∠ C O E + ∠ B O F = 180 °$ ．其中正确的是（）

A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②④

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4. 如图，在 $∠ A O B$ 内部有三条射线 $O C 、 O D 、 O E$ 依次分布，若 $∠ D O E = 16 ° ， ∠ A O E = \frac{1}{3} ∠ A O C$ ， $∠ A O D = \frac{1}{3} ∠ A O B$ ，则 $∠ B O C =$ （）

A、 $24 °$ B、 $32 °$ C、 $42 °$ D、 $48 °$

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5. 如图 $1$ ，点 $A$ ， $O$ ， $B$ 依次在直线 $M N$ 上；如图 $2$ ，现将射线 $O A$ 绕点 $O$ 沿顺时针方向以每秒 $2 °$ 的速度旋转，同时射线 $O B$ 绕点 $O$ 沿逆时针方向以每秒 $4 °$ 的速度旋转，设旋转时间为 $t$ 秒（ $0 \leq t \leq 90$ ）．下列说法正确的是（　　）

A、当 $t$ 值为 $10$ 秒时， $∠ A O B = 100 °$ B、整个运动过程中，不存在 $∠ A O B = 90 °$ 的情况 C、当 $∠ A O B = 60 °$ 时，两射线的旋转时间 $t$ 一定为 $20$ 秒 D、当 $t$ 值为 $36$ 秒时，射线 $O B$ 恰好平分 $∠ M O A$

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6. 如图， $O$ 为直线 $A B$ 上一点， $∠ D O C$ 为直角， $O E$ 平分 $∠ B O C$ ， $O F$ 平分 $∠ A O D$ ， $O G$ 平分 $∠ A O C$ ．下列结论：① $∠ B O E$ 与 $∠ D O F$ 互为余角；② $2 ∠ A O E - ∠ B O D = 90 °$ ；③ $∠ E O D$ 与 $∠ C O G$ 互为补角；④ $∠ B O E - ∠ D O F =$ $45 °$ ．其中结论正确的序号是（）

A、①②④ B、③④ C、②③ D、②③④

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7. 如图，点 $O$ 为线段 $A D$ 外一点， $M$ ， $C$ ， $B$ ， $N$ 为 $A D$ 上顺次排列的四点，连接 $O M$ ， $O C$ ， $O B$ ， $O N$ ，在下列结论中：

①以 $O$ 为顶点的角有15个；
②若 $O M$ 平分 $∠ A O C$ ， $O N$ 平分 $∠ B O D$ ， $∠ A O D = 4 ∠ C O B$ ，则 $∠ M O N = \frac{3}{2} (∠ M O C + ∠ B O N)$
③若 $M$ 为 $A B$ 的中点， $N$ 为 $C D$ 的中点，则 $M N = \frac{1}{2} (A D - C B)$ ；
④若 $M C = C B$ ， $M N = N D$ ，则 $C D = 2 C N$ ．
其中正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

8. 水车是一种古老的提水灌溉工具，主要由圆形主体和支架组成。如图，圆形主体可绕着轴心O旋转，且被轴条（如OC、OD等）等分成8份，支架△OAB固定不动，∠AOB=60°。在水车旋转过程中，OD被支架挡住，若测得∠AOC=18°，则∠BOD的度数为。

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9. 一个含有 $30 °$ 角的直角三角板 $A B C$ ，两个含有 $45 °$ 角的直角三角板 $D C E$ 和 $F C G$ 如图放置， $A C$ 与直线 $M N$ 重合。若 $∠ B C D = \frac{1}{3} ∠ A C D$ ， $C F$ 平分 $∠ E C N$ ，则 $∠ M C G =$ 。

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10. 如图，已知 $∠ A O B = 135 °$ ， $∠ C O D = 45 °$ ，当 $∠ C O D$ 在 $∠ A O B$ 的外部时，分别在 $∠ A O C$ 内部和 $∠ B O D$ 内部画射线 $O E$ ， $O F$ ，使 $∠ E O C = \frac{1}{3} ∠ A O C$ ， $∠ D O F = \frac{1}{3} ∠ B O D$ ，则 $∠ E O F$ 的度数为．

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11. 如图，分别过直线 $A B$ 上的点 $C$ 和点 $D$ 作射线 $C F$ 、 $D E$ ， $∠ B C F = 60 °$ ， $∠ E D B = 90 °$ ，射线 $D G$ 从 $D E$ 开始绕着点 $D$ 以 $6$ 度/秒的速度顺时针旋转，射线 $C H$ 从 $C F$ 开始绕着点 $C$ 以 $1$ 度/秒的速度顺时针旋转，在射线 $D G$ 旋转一周的过程中，经过秒，射线 $D G$ 、射线 $C H$ 所在的直线互相垂直．

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12. 如图，点 $A$ 为直线 $m$ 外一点， $B, E, D, F, C$ 为直线 $m$ 上顺次排列的五个点，连接 $A B, A E, A D, A F, A C$ ．下列四个结论：①若 $∠ B A C = 90^{\circ}, A E$ 平分 $∠ B A D, A F$ 平分 $∠ C A D$ ，则 $∠ E A F = 45^{\circ}$ ；②若 $E D : D F = 2 : 3$ ，则 $∠ E A D : ∠ F A D = 2 : 3$ ；③若 $F$ 为 $C D$ 的中点， $B C = 2 E F$ ，则 $B E = D E$ ；④若 $A E$ 平分 $∠ B A D, A F$ 平分 $∠ C A D$ ，则图中以 $A$ 为顶点的所有角的和为 $10 ∠ E A F$ ．其中正确的结论是．（填写序号）

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三、解答题

13. 【问题初探】
（1）数学课上，李老师给出如下问题：如图1，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，点 $D$ 在线段 $A B$ 的延长线上，若 $A B = 12 cm$ ， $C D = 6 cm$ ，点 $E$ 是线段 $A D$ 的中点．探究 $E C$ 与 $B D$ 之间的数量关系，并说明理由．小慧同学回答：可以设 $E C = a cm$ ，用含 $a$ 的式子表示出 $B D$ 的长，进而得到 $E C$ 与 $B D$ 之间的数量关系，请你按照小慧同学的解题思路，写出说理过程．
【类比分析】
（2）为了帮助学生更好的体会这种方法，李老师把线段问题改成了角有关的问题，请你解答．
如图2， $∠ A O B = 60 °$ ，射线 $O C$ 在 $∠ A O B$ 内部，将射线 $O C$ 绕 $O$ 点逆时针旋转120°得到射线 $O D$ （即 $∠ C O D = 120 °$ ）， $O E$ 平分 $∠ B O D$ ．探究 $∠ E O B$ 与 $∠ A O C$ 的数量关系，并说明理由．
【学以致用】
（3）如图3，点 $O$ 是直线 $A B$ 上一点，射线 $O C$ 在直线 $A B$ 上方，且 $∠ A O C = 80 °$ ，射线 $O D$ ， $O E$ ， $O F$ 与射线 $O C$ 位于直线 $A B$ 的同侧， $∠ A O E$ 与 $∠ C O D$ 互补， $O F$ 平分 $∠ C O E$ ．请直接写出 $∠ D O F$ 与 $∠ C O D$ 之间的数量关系．

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14. 已知点 $O$ 在直线 $E F$ 上，点 $A$ 、 $B$ 与点 $C$ 、 $D$ 分别在直线 $E F$ 两侧，且 $∠ A O B = 70 °$ ， $∠ C O D = 120 °$

(1)、如图1，若 $O B$ 平分 $∠ A O D$ ，求 $∠ A O C$ 的度数；

(2)、如图2，在（1）的条件下， $O E$ 平分 $∠ A O C$ ，过点 $O$ 作射线 $O G$ ， $∠ G O D = 90 °$ ，求 $∠ E O G$ 的度数；

(3)、如图3，若 $2 ∠ A O E - ∠ E O C = 105 °$ ，在 $∠ B O D$ 的内部作一条射线 $O M$ ，若 $∠ B O M ： ∠ D O M = 2 : 3$ ，求 $\frac{∠ A O E}{∠ F O M}$ 的值

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15. 图1，点 $A, O, B$ 依次在直线 $M N$ 上，现将射线 $O A$ 绕点 $O$ 沿顺时针方向以每秒 $4 °$ 的速度转动，同时射线 $O B$ 绕点 $O$ 沿逆时针方向以每秒 $6 °$ 的速度转动，直线 $M N$ 保持不动，如图2，设转动时间为 $t$ （ $0 \leq t \leq 60$ ，单位：秒）
（1）当 $t = 3$ 时，求 $∠ A O B$ 的度数；
（2）在转动过程中，当 $∠ A O B$ 第二次达到 $80 °$ 时，求 $t$ 的值；
（3）在转动过程中是否存在这样的 $t$ ，使得射线 $O B$ 与射线 $O A$ 垂直？如果存在，请求出 $t$ 的值；如果不存在，请说明理由．

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16. 以直线 $A B$ 上一点 $O$ 为端点，在直线 $A B$ 的上方作射线 $O C$ ，且 $∠ C O B = 60 °$ ，将直角三角板 $D O E$ 的直角顶点放在 $O$ 处(注： $∠ D O E = 90 °$ )．

(1)、如图①，若直角三角板 $D O E$ 的一边 $O D$ 放在射线 $O B$ 上，则 $∠ C O E =$ ；

(2)、如图②，将直角三角板 $D O E$ 绕点 $O$ 逆时针方向转动到如图所示位置，若此时 $O E$ 恰好平分 $∠ C O A$ ，求 $∠ B O D$ 的度数．
解：因为 $∠ C O B = 60 °$ ， $∠ C O B + ∠ C O A$ = ，
所以 $∠ C O A =$ ，
因为 $O E$ 平分 $∠ C O A$ ，
所以 $∠ C O E =$ ，
因为 $∠ D O E = ∠ C O E + ∠ C O D = 90 °$
所以 $∠ C O D =$ ，
所以 $∠ B O D = ∠ C O B - ∠ C O D =$ ．

(3)、由（2）可知： $∠ B O D = ∠ C O D$ ，即 $O D$ 所在射线是 $∠ C O B$ 的平分线，那么在（2）的条件下，改变 $∠ C O B$ 的度数，其它条件不变，试猜想： $O D$ 平分 $∠ C O B$ ．（请填写“一定”或“不一定”）

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17. 【问题初探】
在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的 $2$ 倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”．
例如：图 $1$ 中 $∠ A O C = 2 ∠ B O C$ ，则射线 $O C$ 是 $∠ A O B$ 的“奇妙线”．
（1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”）
【类比分析】
（2）如图 $2$ ，若 $∠ M P N = 60 °$ ，在 $∠ M P N$ 内部画一条射线 $P Q$ ，使 $P Q$ 是 $∠ M P N$ 的“奇妙线”，求 $∠ M P Q$ 的度数；
【变式拓展】
（3）如图 $3$ ，若 $∠ M P N = 60 °$ ，且射线 $P Q$ 绕点 $P$ 从 $P N$ 位置开始以每秒 $10 °$ 的速度逆时针旋转，同时射线 $P M$ 以每秒 $6 °$ 的速度也绕点 $P$ 逆时针旋转，当射线 $P Q$ 与射线 $P M$ 重合时全部停止运动．设旋转时间为 $t$ 秒，请直接写出 $t$ 为何值时，射线 $P Q$ 是 $∠ M P N$ 的“奇妙线”．

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二、填空题

三、解答题

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