浙江杭州市上城区杭州中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

试卷更新日期：2026-10-27 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、选择题(共10小题，每题3分)

1. 抛物线 $y = {(x - 1)}^{2} - 1$ 的顶点坐标是 ( )

A、(-1， - 1) B、(1， - 1) C、(-1， 1) D、(1， 1)

查看试题解析
2. ⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

查看试题解析
3. 已知圆心角为120°的扇形的半径为6，则扇形的弧长为（）

A、2π B、4π C、12π D、24π

查看试题解析
4. 一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 $\frac{3}{5},$ 则红球的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
5. 如图， ⊙O中， $\hat{A B} = \hat{A C},$ ∠ACB=70° ，则∠ BDC的度数是 ( )

A、20° B、60° C、70° D、40°

查看试题解析
6. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知⊙O的周长是12π，则该正六边形的边长是（）

A、3 B、3 $\sqrt{3}$ C、6 D、6 $\sqrt{3}$

查看试题解析
7. 若二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 1$ 的图象经过点 A(0， y₁)， B(-1， y₂)， C (2，y₃)，则y₁ ， y₂ ， y₃的大小关系是 ( )

A、y₃₁ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

查看试题解析
8. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = a x + b$ 与函数 $y = b x^{2} - a x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
9. 已知二次函数y=-x²+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程-x²+bx+c-4=0的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

查看试题解析
10. 如图，四边形ABCD内接于⊙O， ∠D=120 °，点P， M， N分别是AB，AD，DC 的中点，若⊙O 的半径为2，则 PM+MN 的最大值是 ( )

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、3.5 D、4

查看试题解析

二、填空题(共6小题，每题3分)

11. 已知一个多边形的每个外角都是72度，那么它是边形．

查看试题解析
12. 二次函数 $y = (m - 2) x^{2} + x + m^{2} - 4$ 的图象经过原点，则m=.

查看试题解析
13. 如图， CD 是圆 O 的弦，直径 AB⊥CD 于点 E，AB=10， CD=8，则线段 BE 的长为.

查看试题解析
14. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + m$ 的图象如图所示，当y>0时，x的取值范围是 .

查看试题解析
15. 如图，桥拱ACB关于水面AB 反射的影子 $\overset{⌢}{A O B}$ 经过 $\overset{⌢}{A C B}$ 所在的圆心O，已知水面宽AB=6米，P为桥拱的最高点，在离水面AB相同高度的C，D处安装两盛景观灯，若点C是AP的中点，则点C离水面AB的距离是米.

查看试题解析
16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与对称轴直线x=m交于点A，与x，y分别交于B，C，D三点，①若点B的坐标为(-m，0)，则点 C 的坐标为 (3m，0)； ②对于任意 $x_{0} (x_{0} \neq m),$ 始终有 $a x_{0}^{2} + b x_{0} > a m^{2} + b m;$ ③若 OD'=OC，则 ac+b+1=0； ④若 m=1， D (0， - 1)， $∣ a x^{2} + b x + c ∣$ =k(k>0，k为常数)的所有根的和为2.下列命题正确的是．

查看试题解析

三、解答题(共8小题，共66分)

17. 已知二次函数图象的顶点坐标(-1， 3)，且经过点(1， -1).

(1)、求这个二次函数表达式；

(2)、将二次函数先向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，求平移后的抛物线解析式.

查看试题解析
18. 如图，在Rt△ABC中，已知 ∠C=90°， BC=4， AC=3.

(1)、用直尺和圆规作出Rt△ABC的外接圆⊙O(保留作图痕迹，不必写出作法)；

(2)、在(1)的条件下，写出⊙O 中的劣弧；

(3)、若以点A为圆心作⊙A，当⊙A的半径r满足时，点 B和点C有且只有一个点在⊙A内.

查看试题解析
19. 已知教室的粉笔盒里现有2支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同.

(1)、现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少?

(2)、用画树状图或列表的方法，求出老师先拿出一支白色粉笔，放回后，再拿出一支红色粉笔的概率.

查看试题解析
20. 如图，AB为⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC=CD，连接DB并延长，交⊙O于点E，连接CE、BC.

(1)、求证： CE=CD；

(2)、若AE所对圆心角的度数为108°，求∠E的度数.

查看试题解析
21. 有长为30米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10米)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为x米，面积为y平方米.

(1)、直接写出y与x的函数关系式和自变量的取值范围；

(2)、如果要围成面积为63平方米的花圃，AB的长是多少?

(3)、求出面积的最大值.

查看试题解析
22. 如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与边AC，BC分别交于点D，E，且AE平分∠CAB.

(1)、求证： AB=AC；

(2)、设 ∠ABD=α，∠C=β，用含β的代数式表示α；

(3)、若 AB=13， BC=10，求弦BD的长.

查看试题解析
23. 已知抛物线y=ax²-2ax-2，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为(4，2).

(1)、若抛物线过点A(4，2)，求该函数图象的对称轴与顶点坐标；

(2)、在(1)的条件下，当0≤x≤3时函数的最大值为p，最小值为q，求p+q的值；

(3)、若抛物线与线段OA只有一个交点，求a的取值范围.

查看试题解析
24. 我们定义：有一组对角相等的四边形叫做“等对角四边形”.

(1)、如图1， “等对角四边形” ABCD 内接于⊙O， ∠A=60°，则 ∠B=.∠C= °；

(2)、如图2， “等对角四边形” ABCD 内接于⊙O，且 CB=CD， ∠ABC<90 °，点 E在 AD的延长线上，连接 AC，BD，CE，∠ACE=90°，请证明：四边形BCED是“等对角四边形”；

(3)、如图3， “等对角四边形” ABCD 内接于⊙O，且其一个内角为60°，CB=CD，BC=2，若∠A+∠B=150° ，请直接写出 AB 的长.

查看试题解析