北师大版数学八年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-4章）

试卷更新日期：2026-10-25 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1. 下列图象中，表示 $y$ 是 $x$ 的函数的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列表述中，能确定具体位置的是（）

A、小明家在沈河区 B、小华坐在电影院的第10排 C、沈阳市位于东经122度 D、学校在小林家北偏东 $50 °$ ，距离800米的方向上

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3. 如图，若正方形A，B的面积分别为25和9，则正方形C的面积是（）

A、4 B、8 C、12 D、16

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4. 估计 $4 + \sqrt{3}$ 的值应在（）

A、4和5之间 B、5和6之间 C、6和7之间 D、7和8之间

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5. 在如图所示的运算程序中，输入 $x$ 的值是 $64$ 时，输出的 $y$ 值是（）

A、 $\sqrt[3]{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $8$

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6. 若点 $A (x, 2)$ 与 $B (- 1, y)$ 关于x轴对称，则（）

A、 $x = - 1$ ， $y = - 2$ B、 $x = - 1$ ， $y = 2$ C、 $x = 1$ ， $y = - 2$ D、 $x = 1$ ， $y = 2$

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7. 2025年10月，深中通道超宽海底隧道沉管建成出坞，展示了我国在基建领域的世界领先水平．在建造过程中，工程师需验证海底沉管安装的垂直精度．现有四组测量数据（单位：米），其中可构成直角三角形以确保安装精度的是（　　）

A、6，8，10 B、5，6，7 C、7，8，9 D、10，12，15

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8. 有甲、乙两车从A地出发去B地，甲车比乙车早出发，如图中 $m_{1}, m_{2}$ 分别表示两车离开A地的距离 $(km)$ 与行驶时间 $t (h)$ 之间的函数关系．现有以下四个结论：① $m_{1}$ 表示甲车， $m_{2}$ 表示乙车；②乙车出发4小时后追上甲车；③若两地相距 $500 km$ ，甲车出发11小时的时候，两车相距 $100 km$ ；④若两地相距 $260 km$ ，则乙车先到达B地．其中正确的是（）

A、①②③④ B、②③④ C、①②③ D、①②④

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二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

9. 有一列数按如下顺序排列： $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $- \frac{1}{4}$ ， $\frac{\sqrt{5}}{16}$ ， …，则第10个数是．

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10. 若（0，y₁），（-2，y₂）为直线y=-x-5上的两个点，则y₁ ， y₂的大小关系是y₁y₂（填“>”、“=”或“<”）.

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11. 某 $A I$ 机器人的视觉系统在平面直角坐标系中，将其探测范围标记为一个三角形区域．已知该三角形的三个顶点坐标分别为 $A (1, 4), B (3, 4), C (5, 10)$ ，那么这个三角形探测区域的面积是．

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12. 如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．

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13. 将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方发粘合起来，粘合部分的宽为3cm.设x张白纸粘合后的总长度为ycm，则y与x的函数关系式.

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三、解答题（本大题共7小题，共61分）

14. 计算：

(1)、 $\sqrt{27} - \sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(2)、 ${(2 - \sqrt{3})}^{2} - (2 + \sqrt{5}) (2 - \sqrt{5}) .$

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15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A, B, C$ 的坐标分别为 $(- 4, 1)$ ， $(- 2, 4)$ ， $(3, 4)$ ．

(1)、在图中画出 $△ A B C$ ；

(2)、作出 $△ A B C$ 关于 $x$ 轴对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、请直接写出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 中边 $A_{1} B_{1}$ 上的高为．

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16. $2025$ 年 $10$ 月初，我国海警在南海仁爱礁附近海域进行常态化巡逻，对从菲律宾“马德雷山号”坐滩军舰派出的正在骚扰中国渔船的橡皮艇依法管制并予以坚决驱离．管制结束后，上午6时我国海警舰艇与这艘橡皮艇同时从渚碧礁基地 $P$ 点出发．我国海警舰艇以每小时 $20$ 海里的速度沿北偏东 $50 °$ 方向航行，该橡皮艇以每小时 $15$ 海里的速度沿某一方向航行．上午8时两船分别到达 $M$ 点和 $N$ 点，且相距 $50$ 海里．请通过计算说明该橡皮艇的航行方向．

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17. 汉代数学家赵爽在《周髀算经》利用弦图最早严谨证明了勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.即在如图1所示的直角三角形中，其三边关系满足：a²+b²=c²

(1)、如图1，已知a=6，b=8，则c=；

(2)、如图2，点A从点O出发，以每秒1个单位长度沿x轴正半轴运动；与此同时，点C从点O出发，以每秒2个单位长度沿y轴正半轴运动；点B从点O出发，以每秒2个单位长度沿x轴负半轴运动.连接AC，将AC绕点C逆时针旋转90°至CD，连接BD交y轴于点N.当BN=2时，求运动时间t；

(3)、如图3，已知G（0，m）（m＞0），点M是OG中点，过点G作直线l∥x轴，点P是直线l上的动点，连接MP，作MQ⊥MP，且MQ=MP，若MQ+OQ达到最小，且最小值为 $\sqrt{5}$ 时，求此时m的值.

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18. 2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：

(1)、A，C两区相距__________米， $a =$ __________；

(2)、求线段 $E F$ 所在直线的函数解析式；

(3)、机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）

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19. 阅读与思考：下面是小府同学的阅读笔记，请认真阅读并完成相应任务．

关于二次根式的化简

概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．

例如： $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ ．

概念2：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”．

例如： $\frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ； $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \sqrt{3} - 1$ ．

典例1： $\frac{1}{3 + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 1)} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{\sqrt{3}})$

典例2： $\frac{1}{5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{15} (\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{15} (\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{5}})$

请完成以下任务：

(1)、化简

\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} =

______．

(2)、直接写出计算结果．

$(\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2025} + \sqrt{2026}}) \times (\sqrt{2026} + 1) =$ ______．

(3)、结合典例1和典例2归纳猜想．

$\frac{1}{(2 n + 1) \sqrt{2 n - 1} + (2 n - 1) \sqrt{2 n + 1}} =$ ______（n为正整数）．

(4)、计算：

$\frac{2}{3 + \sqrt{3}} + \frac{2}{5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5}} + \frac{2}{7 \sqrt{5} + 5 \sqrt{7}} + \dots + \frac{2}{2025 \sqrt{2023} + 2023 \sqrt{2025}}$ ．

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20. 教材问题重现：

在小颖的实验中，燃烧时间每增加 $1 \min$ ，香可燃烧部分的长度就减少 $0 .5cm$ ．也就是说，随着时间的增加，香可燃烧部分的长度在“均匀”地减少．为什么香的燃烧会有这样的“均匀”变化呢？与同伴进行交流．

对于“均匀”变化，下面是深度学习小组通过查阅相关资料和文献搜索后的研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．

深度学习小组有关“匀速变化一次函数”的研究报告

研究对象：匀速变化一次函数

研究思路：按“概念——例题——探究”的路径进行研究

研究内容：

【一般概念】设y是x的一次函数，我们取自变量x的取值范围内的两个不同的值 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1}$ 到 $x_{2}$ 变化时，对应的y的值由 $y_{1}$ 到 $y_{2}$ 也随之变化，这时我们称比值 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 为y在 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ 之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度相同时，我们称y是x的匀速变化一次函数．

【探究活动一】根据匀速变化一次函数的概念，对函数 $y = 3 x - 2$ 的研究如下：

当 $x_{1} = 1$ 时， $y_{1} = 3 \times 1 - 2 = 1$ ；当 $x_{2} = 0$ 时， $y_{2} = 3 \times 0 - 2 = - 2$ ．则 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{- 2 - 1}{0 - 1} = 3$ ．

当 $x_{3} = - 1$ 时， $y_{3} = 3 \times (- 1) - 2 = - 5$ ；当 $x_{4} = - 2$ 时， $y_{4} = 3 \times (- 2) - 2 = - 8$ ．则 $\frac{y_{4} - y_{3}}{x_{4} - x_{3}} = \frac{- 8 - (- 5)}{- 2 - (- 1)} = 3$ ．

因为y在自变量x的取值范围内任意两个不同值之间的平均变化速度是同一个数3，所以y是x的匀速变化一次函数．

【深入探索】通过上述方法可以验证函数 $y = 3 x - 2$ 为y关于x的匀速变化一次函数，则该函数的平均变化速度刚好等于 ▲ ．

发现结论：若 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = k x + b$ （k，b为常数， $k \neq 0$ ）图象上的两点，则 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} =$ █ ．我们只需再取图象上两点就可以快速地验证y是不是x的匀速变化一次函数．

任务一：

（1）填空：上述材料中的▲= ， █= ．

（2）请你应用以上规律直接写出过 $M (1, - 2)$ ， $N (3, 4)$ 两点的直线 $M N$ 的平均变化速度 $k_{M N} =$ ．

【探究活动二】

深度学习小组继续深入研究直线的平均变化速度问题，得到以下两个正确结论：

①当两条直线平行时，这两条直线的平均变化速度是相等的；

②当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值．

任务二：

（3）如图1，直线 $A B$ 与直线 $A C$ 垂直于点A，且 $A (2, 2)$ ， $B (4, 3)$ ， $C (1, 4)$ ．请求出直线 $A B$ 的平均变化速度 $k_{A B}$ 与直线 $A C$ 的平均变化速度 $k_{A C}$ 之积．

（4）发现结论：当任意两条不和坐标轴平行的直线互相垂直时，这两条直线的平均变化速度之积是一个定值，这个定值= ．

（5）应用结论：如图2，平面直角坐标系中正方形 $A B C D$ 的顶点 $A (0, 4)$ ， $B (3, 0)$ ，连接 $B D$ ，过点D作直线 $l ⊥ B D$ ，则直线l的函数表达式为．

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